Tangentvektor, parameterfremstilling og ligning

Indhold

Tangentvektor
Tangent
Tangentens parameterfremstilling
Tangentens ligning

Tangentvektor

Definition. Tangentvektor.

Når $\vec{r}(t)$ er en vektorfunktion, og $P_{t_0}$ er et punkt på parameterkurven for $\vec{r}(t)$ , så kaldes $\vec{r} \ ' (t_0)$ for tangentvektoren i $P_{t_0}$ , hvis $\vec{r} \ '(t_0) \neq \vec{0} \\$ .

Læg mærke til, at parameterkurven for $\vec{r}(t)$ kun har en tangentvektor i $P_{t_0}$ , hvis $\vec{r} \ ' (t_0)$ ikke er nulvektoren.

Eksempel: Bestem tangentvektoren

En vektorfunktion er givet ved

$\vec{r}(t) = \binom{t^2}{t^3-2t}, \quad t \in \mathbb{R}$

Vi vil bestemme tangentvektoren i punktet P1(1,-1), dvs. punktet på parameterkurven for $\vec{r}(t)$ , der hører til tiden t = 1.

Først differentierer vi $\vec{r} (t)$ :

$\begin{align*} \vec{r} \ ' (t) &= \binom{\left ( t^2 \right )'}{\left ( t^3 - 2t \right )'} \\[1em] &= \binom{2t}{3t^2 - 2} \end{align}$

Derefter bestemmer vi tangentvektoren i P:

$\begin{align*} \vec{r} \ ' (1) &= \binom{2 \cdot 1}{3 \cdot 1^2 - 2} \\[1em] &= \binom{2}{1} \end{align}$

Tangentvektoren i punktet P1(1,-1) er

$\vec{r} \ ' (1) = \binom{2}{1} \\$

Figuren herunder viser parameterkurven og tangentvektoren i punktet P1(1,-1):

Eksempel: Bestem det punkt, hvor tangentvektoren er ensrettet med vektor a

Figuren herover viser en parameterkurve. Kurvens parameterfremstilling er

$\vec{r}(t) = \binom{t +1}{-t^2 + 2}, \quad t \in \mathbb{R}$

Vektoren $\vec{a}$ er givet ved

$\vec{a} = \binom{\frac{1}{2}}{-1}$

Vi vil undersøge, hvornår tangentvektoren $\vec{r} \ ' (t)$ er ensrettet med $\vec{a}$ .

Tangentvektoren $\vec{r} \ ' (t_0)$ til tiden t = t0 er ensrettet med $\vec{a}$ , hvis der findes et k > 0, så

$\vec{r} \ ' (t_0) = k \cdot \vec{a}$

Vi differentierer $\vec{r}(t)$ :

$\begin{align*} \vec{r} \ ' (t) &= \binom{\left ( t+1 \right )'}{\left ( -t^2 +2 \right )'} \\[1em] &= \binom{1}{-2t} \end{align}$

Vi bestemmer, hvornår tangentvektoren er parallel med $\vec{a}$ , ved at løse ligningen

$\vec{r} \ ' (t) = k \cdot \vec{a}$

Ovenstående ligning svarer til ligningssystemet

$\begin{align*} 1 &= k \cdot \frac{1}{2} \\[1em] -2t &= k \cdot (-1) \end{align}$

Løsni...