Differentiering

Indhold

Kontinuitet og differentiabilitet
- Eksempel: Er vektorfunktionen kontinuert?
- Eksempel: Er vektorfunktionen differentiabel?
En vektorfunktion differentieres ved at differentiere koordinatfunktionerne
- Eksempel: Differentiér vektorfunktionen
- Eksempel: Bestem den afledte til tiden t = π
Differentiering af en vektorfunktion i et CAS-værktøj

Kontinuitet og differentiabilitet

En vektorfunktion er på formen

$\vec{r}(t) = \binom{x(t)}{y(t)}, \quad t \in I$

Vektorfunktionen er kontinuert, hvis begge koordinatfunktioner x(t) og y(t) er kontinuerte. Hvis vektorfunktionen er kontinuert, så er banekurven sammenhængende, dvs. at banekurven kan tegnes "uden at løfte blyanten".

Vektorfunktionen er differentiabel, hvis koordinatfunktionerne x(t) og y(t) er differentiable.

Eksempel: Er vektorfunktionen kontinuert?

En vektorfunktion er givet ved

$\vec{r}(t) = \binom{t^3 - t}{t^2 + t + 2}, \quad t \in \mathbb{R}$

Koordinatfunktionerne er

$\begin{align*} x(t) &= t^3 - t \\[0.5em] y(t) &= t^2 + t + 2 \end{align}$

Da koordinatfunktionerne er polynomier, så er begge koordinatfunktioner kontinuerte. Vektorfunktionen er altså kontinuert.

Parameterkurven for $\vec{r}(t)$ kan ses herunder:

Da vektorfunktionen er kontinuert, så er parameterkurven sammenhængende.

Eksempel: Er vektorfunktionen differentiabel?

En vektorfunktion er givet ved

$\vec{r}(t) = \binom{e^{0,1t}\cdot \cos(t)}{e^{0,1t}\cdot \sin(t)}, \quad -10 \leq t \leq 10$

Koordinatfunktione...