Vinklen mellem to tangenter

Indhold

En parameterkurve har to tangenter i et dobbeltpunkt. De to tangenter danner to vinkler.

Vi kan bestemme den ene vinkel mellem tangenterne ved at bestemme vinklen mellem tangentvektorerne i dobbeltpunktet.

Vinklen v mellem tangentvektorerne $\vec{r} \ ' (t_1)$ og $\vec{r} \ ' (t_2)$ bestemmes med formlen for vinklen mellem to vektorer:

$\cos(v) = \frac{\vec{r} \ ' (t_1) \cdot \vec{r} \ ' (t_2)}{\left | \vec{r} \ ' (t_1) \right | \cdot \left | \vec{r} \ ' (t_2) \right |}$

Når vi har bestemt den ene vinkel v mellem de to tangenter, så kan vi bestemme den anden vinkel w med formlen:

w = 180° - v

Vektorfunktionen $\vec{r}(t)$ er givet ved

$\vec{r}(t) = \binom{t^3 - 4t}{t^2-2t}, \quad t \in \mathbb{R} \ \$

Punktet P(0,0) er et dobbeltpunkt på parameterkurven for $\vec{r}(t)$ . t-værdierne hørende til P er hhv. t1 = 0 og t2 = 2.

Vi vil bestemme vinklen mellem tangentvektorerne i P.

Først differentierer vi $\vec{r}(t)$ :

$\begin{align*} \vec{r}(t) &= \binom{\left ( t^3 - 4t \right )'}{\left ( t^2 - 2t \right )'} \\[1em] &= \binom{3t^2 - 4}{2t-2} \end{align}$

Derefter bestemmer vi tangentvektor...