Cirklens og linjens parameterfremstilling

Indhold

Cirklens parameterfremstilling
- Eksempel: Bestem en cirkels parameterfremstilling
- Eksempel: Er parameterkurven en cirkel?
Linjens parameterfremstilling
- Eksempel: Bestem linjens parameterfremstilling
- Eksempel: Er parameterkurven en linje?

Cirklens parameterfremstilling

Sætning. Parameterfremstilling for en cirkel.

Cirklen med radius r og centrum i punktet C(a,b) er givet ved parameterfremstillingen

$\vec{r}(t) = \binom{a}{b} + \binom{r\cdot \cos(t)}{r\cdot \sin(t)}, \ t \in [0;2\pi[$

Eksempel: Bestem en cirkels parameterfremstilling

Figuren herover viser en cirkel med centrum i punktet C(-1,3) og radius r = 5. Vi vil bestemme en parameterfremstilling for cirklen.

Vi sætter radius r = 5 og centrums koordinater (a,b) = (-1,3) ind i parameterfremstillingen for en cirkel:

$\begin{align*} \vec{r}(t) &= \binom{-1}{3} + \binom{5\cdot \cos(t)}{5\cdot \sin(t)} \\[1em] &= \binom{-1 + 5\cdot \cos(t)}{3 + 5\cdot \sin(t)} \end{align}$

Cirklen er givet ved parameterfremstillingen:

$\vec{r}(t) = \binom{-1 + 5\cdot \cos(t)}{3 + 5\cdot \sin(t)}, \ t \in [0;2\pi[$

Eksempel: Er parameterkurven en cirkel?

En vektorfunktion er givet ved

$\vec{r}(t) = \binom{\cos(t)}{\sin(t)}, \quad t \in [0;2\pi[$

Vi vil undersøge, om parameterkurven for $\vec{r}(t)$ er en cirkel.

Parameterkurven for $\vec{r}(t)$ er en cirkel, hvis parameterfremstillingen for $\vec{r}(t)$ er på formen

$\vec{r}(t) = \binom{a}{b} + \binom{r\cdot \cos(t)}{r\cdot \sin(t)}, \ t \in [0;2\pi[$

Vi omskriver parameterfremstillingen for $\vec{r}(t)$ :

$\begin{align*} \vec{r}(t) &= \binom{\cos(t)}{\sin(t)} \\[1em] &= \binom{0 + 1 \cdot \cos(t)}{0 + 1 \cdot \sin(t)} \\[1em] &= \binom{0}{0} + \binom{1 \cdot \cos(t)}{1 \cdot \sin(t)} \end{align}$

Vi genkender, at paramete...