Lodrette og vandrette tangenter

Indhold

Lodrette tangenter

En vektorfunktion er givet ved

$\vec{r}(t) = \binom{x(t)}{y(t)}, \quad t \in I$

Tangentvektoren i punktet $P_{t_0}$ er givet ved

$\vec{r} \ ' (t_0) = \binom{x'(t_0)}{y'(t_0)}$

En vektor er lodret, hvis førstekoordinaten er 0, og andenkoordinaten ikke er 0. Tangentvektoren er derfor lodret, hvis

$\begin{align*} x'(t_0) &= 0 \\[0.5em] y'(t_0) &\neq 0 \end{align}$

Vi bestemmer, hvornår parameterkurven har en lodret tangentvektor ved at løse ligningen

x'(t) = 0

Hvis t0 er en løsning til ovenstående ligning, og $\vec{r} \ ' (t_0)$ ikke er nulvektoren, så er $\vec{r} \ ' (t_0)$ en lodret tangentvektor.

Når tangentvektoren i $P_{t_0}$ er lodret, så er tangenten i $P_{t_0}$ lodret. Tangentens ligning er

x = x(t0)

Vektorfunktionen $\vec{r}(t)$ er givet ved

$\vec{r}(t) = \binom{t^2 + 3}{t}, \quad t \in \mathbb{R}$

Vi vil bestemme de punkter, hvor parameterkurven for $\vec{r}(t)$ har en lodret tangent.

Først differentierer vi vektorfunktionen:

$\begin{align*} \vec{r} \ '(t) &= \binom{(t^2 + 3)'}{(t)'} \\[0.5em] &= \binom{2t}{1} \end{align} \ \$

Derefter løser vi ligningen x'(t) = 0:

$\begin{align*} & \ \ 2t = 0 \\ \Downarrow & \\ & \ \ t =0 \end{align}$

Løsningen er t = 0. Vi ved, at y'(0) ≠ 0, da y'(t) = 1.

Parameterkurven har en lodret...