Tangenter

Indhold

Tangent og tangentvektor

Tangenten til en parameterkurve i $P_{t_0}$ er den rette linje, der går igennem $P_{t_0}$ og har $\vec{r} \ '(t_0)$ som retningsvektor.
$\vec{r} \ ' (t_0)$ kaldes tangentvektoren i $P_{t_0}$ .

$\binom{x}{y} = \binom{x(t_0)}{y(t_0)} + t \cdot \binom{x'(t_0)}{y'(t_0)}, t \in \mathbb{R}$

$\vec{r}(t) = \binom{t}{\sqrt{t}}, t \geq 0$

Punktet P4(4,2) hører til t = 4. Vi vil bestemme en parameterfremstilling for tangenten i P4(4,2).

Først bestemmer vi $\vec{r} \ ' (t)$ :

$\begin{align*} \vec{r} \ ' (t) &= \binom{(t)'}{(\sqrt{t})'} \\[0.5em] &= \binom{1}{\frac{1}{2\sqrt{t}}} \end{align}$

Derefter bestemmer vi tangentvektoren $\vec{r} \ ' (4)$ :

$\begin{align*} \vec{r} \ ' (4) &= \binom{x'(4)}{y'(4)} \\[0.5em] &= \binom{1}{\frac{1}{4}} \end{align}$

Tangenten til parameterkurven i punktet P4(4,2) er givet ved

$\binom{x}{y} = \binom{4}{2} + t \cdot \binom{1}{\frac{1}{4}}, t \in \mathbb{R}$

$-y'(t_0) \cdot (x - x(t_0)) + x'(t_0) \cdot (y - y(t_0)) = 0$

$\vec{r}(t) = \binom{t^2}{t^3}, t \in \mathbb{R}$

Punktet P3(9,27) hører til t = 3. Vi vil bestemme en ligning for tangenten i P3(9,27).

Først bestemmer vi $\vec{r} \ ' (t)$ :

$\begin{align*} \vec{r} \ ' (t) &= \binom{(t^2)'}{(t^3)'} \\[0.5em] &= \binom{2t}{3t^2} \end{align}$

Derefter bestemmer vi tangentvektoren $\vec{r} \ ' (3)$ :

$\begin{align*}\vec{r} \ ' (3) &= \binom{x'(3)}{y'(3)} \\[0.5em] &= \binom{6}{27} \end{align}$

Tangenten til parameterkurven i punktet P3

...