Stationære punkter

Indhold

Hvad er et stationært punkt?
- Eksempel: Er P(1,1,1) et stationært punkt?
- Eksempel: Bestem de stationære punkter
Bestem arten af de stationære punkter

Hvad er et stationært punkt?

Definition. Stationært punkt.

Et punkt P(x0,y0,z0) er et stationært punkt, hvis de partielle afledede i punktet er 0:

$\begin{align*} f_{x}'(x_0,y_0) &= 0 \\[0.5em] f_{y}'(x_0,y_0) &= 0 \end{align}$

Da gradienten ∇f er en todimensionel vektor med de partielle afledede som koordinater, så kan vi også afgøre, om P(x0,y0,z0) er et stationært punkt ved at bestemme gradienten i P. P er et stationært punkt, hvis gradienten er nulvektoren:

$\nabla f(x_0,y_0) = \vec{0}$

Vi kan bestemme de stationære punkter for en funktion f ved at løse ligningssystemet

$\begin{align*} f_{x}'(x,y) &= 0 \\[0.5em] f_{y}'(x,y) &= 0 \end{align}$

Eksempel: Er P(1,1,1) et stationært punkt?

En funktion f er givet ved

$f(x,y) = - \frac{1}{4}x^4 + xy + \frac{1}{4} \\$

Punktet P(1,1,1) ligger på grafen for f.

Vi vil undersøge, om P er et stationært punkt, så vi bestemmer de partielle afledede:

$\begin{align*} f_x'(x,y) &= -x^3 + y \\[1em] f_y'(x,y) &= x \end{align}$

P(1,1,1) er et stationært punkt, hvis de partielle afledede i P begge er 0. Vi bestemmer de partielle...