Funktioner af to variable
  1. Funktioner af to variable
[17]

Noter

Her er vores noter til emnet Funktioner af to variable. Noterne dækker følgende områder:

 

Her er et uddrag af noterne om stationære punkter, saddelpunkter og ekstrema:

Bestem arten af de stationære punkter

  • Vi bestemmer arten af et stationært punkt P(x0,y0,z0) ud fra de dobbelt afledede og en blandet afledet, som vi kalder r, s og t:

\begin{align*} r &= f_{xx}''(x_0,y_0) \\[0.5em] s &= f_{xy}''(x_0,y_0) \\[0.5em] t &= f_{yy}''(x_0,y_0) \end{align}

  • Hvis r·t - s2 > 0 og r > 0, så har f et lokalt minimum i P(x0,y0,z0).
  • Hvis r·t - s2 > 0 og r < 0, så har f et lokalt maksimum i P(x0,y0,z0).
  • Hvis r·t - s2 < 0, så har f et saddelpunkt i P(x0,y0,z0).
  • Hvis r·t - s2 = 0, så er arten af det stationære punkt ukendt.
  • Eksempel: Funktionen f er givet ved f(x,y) = -x^2\cdot e^x - y^2 + 5. Vi vil bestemme arten af de stationære punkter. Først bestemmer vi de partielle afledede, så vi kan bestemme de stationære punkter:
    \begin{align*} f_{x}'(x,y) &= -2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x \\[0.5em] f_{y}'(x,y) &= -2y \end{align}
    De stationære punkters koordinater løser nedenstående ligningssystem:
    \begin{align*} f_{x}'(x,y) &= 0 \\[0.5em] f_{y}'(x,y) &= 0 \end{align}
    Vi løser ligningen fx'(x,y) = 0:

...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind

Funktioner af to variableForskrift og graf