Gradient

Indhold

Hvad er gradienten?

Gradienten af en funktion f af to variable er en todimensionel vektor. Vektorens koordinater er de partielle afledede, fx'(x,y) og fy'(x,y).

Definition. Gradient.

Gradienten af funktionen f(x,y) er

$\nabla f(x,y) = \binom{f_{x}'(x,y)}{f_{y}'(x,y)}$

"∇" kaldes "nabla".

Gradienten af funktionen f noteres ind i mellem blot "∇f".

En funktion f er givet ved

f(x,y) = ex + x2y2 + y

Vi vil bestemme gradienten af f.

Først bestemmer vi de partielle afledede:

$\begin{align*} f_{x}'(x,y) &= e^x + 2xy^2 \\[1em] f_{y}'(x,y) &= 2x^2y + 1 \end{align}$

Derefter kan vi bestemme ∇f:

$\begin{align*} \nabla f(x,y) &= \binom{f_{x}'(x,y)}{f_{y}'(x,y)} \\[1em] &= \binom{e^x + 2xy^2}{2x^2 y +1} \end{align} \\$

Gradienten af funktionen f(x,y) i punktet (x0,y0) er vektoren

$\nabla f (x_0,y_0) = \binom{f_{x}'(x_0,y_0)}{f_{y}'(x_0,y_0)}$

Funktionen f er givet ved

f(x,y) = ex + x2y2 + y

Vi vil bestemme gradienten af f i punktet (0,2).

Først bestemmer vi ∇f:

$\nabla f(x,y) = \binom{e^x + 2xy^2}{2x^2 y +1}$

Derefter bestemmer vi ∇f(0,2):

$\begin{align*} \nabla f (0,2) &= \binom{e^0 + 2\cdot 0 \cdot 2^2}{2 \cdot 0^2 \cdot 2+1} \\[1em] &= \binom{1}{1} \end{align}$

Gradienten af f i punktet (0,2) er

$\nabla f (0,2) = \binom{1}{1}$

...