Funktioner af to variable

Her er vores kompendium om funktioner af to variable. Funktioner af to variable er en del af Matematik A på STX.

Kompendiet indeholder bl.a. noter og sider om eksamen. På siderne om eksamen kan du fx få hjælp til at lave dispositioner til eksamen eller øve typiske spørgsmål til samtaledelen af den mundtlige eksamen.

Kompendiets opbygning

Her er et uddrag af siden Saddelpunkter og ekstremumspunkter:

Stationære punkter, lokale ekstremumspunkter og saddelpunkter

Hvis punktet P er et lokalt ekstremumspunkt eller et saddelpunkt, så er P et stationært punkt. De lokale ekstremumspunkter og saddelpunkter skal altså findes blandt de stationære punkter. Når vi vil bestemme de lokale ekstremumspunkter og saddelpunkter for en funktion, så bestemmer vi derfor først de stationære punkter. Derefter afgør vi for hvert enkelt stationære punkt, om det er et lokalt ekstremumspunkt eller et saddelpunkt.

Når vi bestemmer, om et stationært punkt er et lokalt ekstremumspunkt eller et saddelpunkt, så siger vi, at vi bestemmer arten af de stationære punkter. Herunder gennemgår vi metoden til at bestemme arten af stationære punkter.

Bestem arten af de stationære punkter

Når vi skal bestemme arten af et stationært punkt P(x₀,y₀,z₀), så skal vi kende de dobbeltafledede og en af de blandede afledede i P. Værdierne kaldes hhv. r, s og t:

$\begin{align*} r &= f_{xx}''(x_0,y_0) \\[1em] s &= f_{xy}''(x_0,y_0) \\[1em] t &= f_{yy}''(x_0,y_0) \end{align}$

Vi bestemmer r · t - s². Fortegnet for r · t - s² afgør, om der er tale om et lokalt ekstremum eller et saddelpunkt:

Hvis r · t - s² > 0 og r > 0, så har f et ...