Polære koordinater

Indhold

Hvad er polære koordinater?
Komplekse tal på polær form
Multiplikation af komplekse tal på polær form
- Eksempel: Beregn z₁ · z₂
- Geometrisk repræsentation
Division af komplekse tal på polær form
- Eksempel: Beregn z₁/z₂ og z2/z1
- Geometrisk repræsentation

Hvad er polære koordinater?

Definition. Polære koordinater.

De polære koordinater for $z \in \mathbb{C}$ er talparret (r,θ), hvor r er modulus af z (dvs. at r = |z|), og θ er argumentet for z.

Du kan læse om modulus af et komplekst tal og argumentet for et komplekst tal på siden Modulus og argument.

Vi benytter bl.a. polære koordinater, fordi det kan være nemmere at gange og dividere komplekse tal, når de er på polær form, hvilket du kan læse mere om i afsnittene Multiplikation af komplekse tal på polær form og Division af komplekse tal på polær form.

Komplekse tal på polær form

Sætning. Polær form.

Tallet $z \in \mathbb{C}$ med polære koordinater (r,θ) kan skrives på polær form på to måder:

$\begin{align*} z &= r \cdot \left ( \cos(\theta) + \sin(\theta) \cdot i \right ) \\[1em] z &= r \cdot e^{\theta \cdot i}\end{align}$

Du kan opleve, at z = r · (cos(θ) + sin(θ) · i) kaldes for z på trigonometrisk form, mens z = r · eθ·i kaldes for z på Eulers form.

Vi kan forklare, hvorfor et komplekst tal z kan skrives på polær form ved at se på z i den komplekse plan og benytte vores viden om sinus og cosinus i retvinklede trekanter. Du kan finde vores detaljerede forklaring på siden Beviser med k...