Eulers formel

Indhold

Hvad er Eulers formel?
Eulers formel bruges til at omskrive komplekse tal på polær form
- Eksempel: Omskriv z = 5 · (cos(π/3) + sin(π/3) · i
- Eksempel: Omskriv z = 3 · e^(π/8 · i)

Hvad er Eulers formel?

Eulers formel beskriver en sammenhæng mellem eksponentialfunktionen og de trigonometriske funktioner cos(x) og sin(x):

Sætning. Eulers formel.

For ethvert x ∈ $\mathbb{R}$ gælder der, at

exi = cos(x) + sin(x) · i

e er Eulers tal.

i er den imaginære enhed.

Eulers formel er opkaldt efter den schweiziske matematiker Leonhard Euler (1707 - 1783).

Eulers formel fortæller fx, at

$\begin{align*} e^{\frac{\pi}{2} i} &= \cos \left ( \frac{\pi}{2} \right ) + \sin \left ( \frac{\pi}{2} \right ) \cdot i \\[1em] &= 0 + 1 \cdot i \\[1em] &= i \end{align}$

$\begin{align*} e^{3i} &= \cos \left ( 3 \right ) + \sin \left ( 3 \right ) \cdot i \\[1em] &\approx -0,990 + 0,141i \end{align}$

Eulers formel bruges til at omskrive komplekse tal på polær form

Et komplekst tal z med polære koordinater (r,θ) kan skrives på polær form:

$z = r \cdot \left ( \cos(\theta) + \sin(\theta) \cdot i \right )$

Da θ er en vinkel, så er θ et reelt tal. Dermed kan vi bruge Eulers formel til at omskrive z:...