Beviser med komplekse tal på polær form

Indhold

Komplekse tal på polær form
Multiplikation af komplekse tal på polær form
Division af komplekse tal på polær form

Komplekse tal på polær form

Sætning. Polær form.

Tallet z kan skrives på polær form på to forskellige måder:

$\begin{align*} z &= r \cdot \left ( \cos(\theta) + \sin(\theta) \cdot i \right ) \\[1em] z &= r \cdot e^{\theta \cdot i} \end{align}$

Bevis

Vi lader z ≠ 0 være et komplekst tal med modulus r = |z| og argument θ.

Realdelen af z kalder vi a, og imaginærdelen af z kalder vi b. Dermed er

z = a + bi

På figuren herover har vi markeret z i den komplekse plan. Vi har også tegnet en retvinklet trekant, der har sidelængderne a, b og r.

Da der er tale om en retvinklet trekant, så kan vi bruge vores viden om cosinus og sinus i retvinklede trekanter til at beskrive sammenhængen mellem sidelængderne og vinklen θ:

$\begin{align*} \cos(\theta) &= \frac{a}{r} \\[1em] \sin(\theta) &= \frac{b}{r} \end{align}$

Vi omskriver begge ligninger ved at gange med r:

$\begin{align*} \cos(\theta) \cdot r &= a \\[1em] \sin(\theta) \cdot r &= b \end{align}$

Derefter indsætter vi ovenstående udtryk for a og b i z:

Vi har nu skrevet z på formen

z = r · (cos(θ) + sin(θ) · i)

Vi kan omskriv...

	=
	=	$\cos(\theta) \cdot r + \sin(\theta) \cdot r \cdot i$
	=	$r \cdot \left ( \cos(\theta) + \sin(\theta) \cdot i \right )$