Ligninger

På siderne om ligninger og ligningsløsning kan du læse om

Ligninger på formen zⁿ = a
Kvadratrødder
Andengradsligninger

Her er et uddrag af siden Ligninger på formen zⁿ = a:

Vi vil løse ligningen z⁵ = -1 + i. Ligningen har 5 løsninger.

Vi bestemmer først modulus af a = -1 + i:

Modulus af a = -1 + i er $\sqrt{2}.$

Vi bestemmer nu argumentet θ for a = -1 + i:

\tan^{-1} \left ( \frac{1}{-1} \right ) + \pi

Argumentet θ for -1 + i er 3π/4.

Vi bestemmer løsningernes modulus:

$\begin{align*} |z| &= \sqrt[5]{\sqrt{2}} \\[1em] &= 2^{\frac{1}{10}} \\[1em] &\approx 1,07177 \end{align}$

Løsningerne har alle modulus |z| = 2^1/10.

Da θ = 3π/4, så er ...

Her er et uddrag af siden Kvadratrødder:

Når vi arbejder med reelle tal, så kan vi bestemme kvadratroden af et positivt tal. Vi bekræfter her, at når a er et positivt reelt tal, så stemmer definitionen af kvadratroden af et komplekst tal overens med vores definition af kvadratrødder af reelle tal.

Vi lader a være et positivt reelt tal. Dermed er ...

	$\theta$	=	$\tan^{-1} \left ( \frac{1}{-1} \right ) + \pi$
⇓
	$\theta$	=	$\frac{3\pi}{4}$

	=	$\sqrt{(-1)^2 + 1^2}$
	=	$\sqrt{2}$