Ligninger på formen zⁿ = a

Indhold

Løsninger til ligningen zⁿ = a
- Eksempel: Løs z³ = 8
- Eksempel: Løs z⁵ = -1 + i
Løsninger til ligningen z² = a
- Eksempel: Løs ligningen z² = -3
- Eksempel: Løs ligningen z² = 3 + 4i

Løsninger til ligningen zⁿ = a

Sætning. Løsning til zn = a.

Ligningen zn = a, hvor a ∈ $\mathbb{C}$ og n ∈ $\mathbb{N}$ , har n løsninger:

$z = \sqrt[n]{|a|} \cdot \left ( \cos \left ( \frac{\theta}{n} +\frac{p \cdot 2\pi}{n} \right ) + \sin \left ( \frac{\theta}{n} +\frac{p \cdot 2\pi}{n} \right ) \cdot i\right ), \quad p = 0, 1, \dots , {n - 1}.$

θ er argumentet for a.

Sætningen bevises på siden Beviser for kvadratrødder og løsninger til ligninger.

Vi kan se på løsningsformlen, at alle løsningerne har samme modulus:

$\sqrt[n]{|a|}$

Alle løsningerne til ligningen har derfor samme afstand til aksernes skæringspunkt i den komplekse talplan. Herunder ses et eksempel:

Figuren herover viser løsningerne til en ligning på formen z7 = a. Vi kan se, at de 7 løsninger har samme afstand til aksernes skæringspunkt.

Vi kan se på løsningsformlen, at når vi kender argumentet for én løsning til ligningen zn = a, så kan vi bestemme argumentet for den næste løsning ved at lægge 2π/n til.

Når vi lægger 2π/n til argumentet for en løsning, så svarer det til at rotere det tilhørende punkt i den komplekse plan med vinklen 2π/n. Når vi har afsat én løsning i den komplekse plan, så kan vi alts...