Kvadratrødder

Indhold

Hvad er kvadratroden af et komplekst tal?
- Eksempel: Bestem kvadratroden af 5 - 12i
Kvadratroden af et negativt reelt tal
- Eksempel: Bestem kvadratroden af -1
- Eksempel: Bestem kvadratroden af -9
Kvadratroden af et positivt reelt tal

Hvad er kvadratroden af et komplekst tal?

Definition. Kvadratroden af et komplekst tal.

Kvadratroden af et komplekst tal a er

$\sqrt{a} = \sqrt{|a|} \cdot \left ( \cos \left ( \frac{\theta}{2} \right ) + \sin \left ( \frac{\theta}{2} \right ) \cdot i \right )$

θ er argumentet for a.

Bemærk, at vi har brugt løsningen til ligningen z² = a til at definere, hvad vi mener med kvadratroden af et komplekst tal: Kvadratroden af a er den positive løsning til ligningen z² = a.

Vær opmærksom på, at regneregler, der gælder for kvadratrødder af reelle tal, ikke altid gælder for kvadratrødder af komplekse tal. Fx gælder der ikke altid, at

$\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Eksempel: Bestem kvadratroden af 5 - 12i

Vi vil bestemme kvadratroden af det komplekse tal a = 5 - 12i.

Først bestemmer vi modulus af a = 5 - 12i:

$\begin{align*} |5 - 12i| &= \sqrt{5^2 + (-12)^2} \\[1em] &= 13 \end{align}$

Modulus af a = 5 - 12i er 13.

Vi bestemmer nu argumentet for a = 5 - 12i:

$\begin{align*} \theta &= \tan^{-1} \left ( \frac{-12}{5} \right ) \\[1em] &\approx -1,176005 \end{align}$

Argumentet for a = 5 - 12i er θ ≈ -1,176.

Vi bestemmer nu kvadratroden af a = 5 - 1...