Beviser for kvadratrødder og løsninger til ligninger

Indhold

Løsninger til zⁿ = a
Løsninger til z² = a
Kvadratroden af et negativt reelt tal
Løsninger til generelle andengradsligninger
Løsninger til andengradsligninger med reelle koefficienter

Løsninger til zⁿ = a

Sætning. Løsning til zn = a.

Ligningen zn = a, hvor a ∈ $\mathbb{C}$ og n ∈ $\mathbb{N}$ , har n løsninger:

$z = \sqrt[n]{|a|} \cdot \left ( \cos \left ( \frac{\theta}{n} +\frac{p \cdot 2\pi}{n} \right ) + \sin \left ( \frac{\theta}{n} +\frac{p \cdot 2\pi}{n} \right ) \cdot i\right ), \quad p = 0, 1, \dots , {n - 1}.$

θ er argumentet for a.

Du kan se to eksempler, hvor vi bestemmer løsninger til ligninger på formen zn = a, på siden Ligninger på formen zn = a.

Bevis

Vi betragter ligningen

zn = a

Vi lader θ være argumentet for a.

Vi bestemmer først modulus af z. Først bemærker vi, at

\|a\|	=	\|zn\|
	=	\|z\|n

Da |a| og |z| er reelle tal, så kan vi bestemme den n'te rod af |a|:

$\begin{align*} &&|z|^n &= |a| \\ \Downarrow &&& \\ && |z| &= \sqrt[n]{|a|} \end{align}$

Vi har nu bestemt modulus af z:

$|z| = \sqrt[n]{|a|}$

Som det næste bestemmer vi argumentet for z. Vi bemærker, at

arg(a)	=	arg(zn)
	=	n · arg(z)

Da n > 0, så kan vi dividere med n:

$\arg(z) = \frac{\arg(a)}{n}$

Vi ved, at hvis arg(w) er argumentet for w ∈ $\mathbb{C}$ , så er alle tal på nedenstående form også argumenter for w:

arg(w) + p · 2π, hvor p ∈ $\mathbb{Z}$

Da θ er argumentet for a, så gælder der altså, at

arg(a) = θ + p · 2π,...