Standardnormalfordeling

Indhold

Hvad er standardnormalfordelingen?
Tæthedsfunktion
Sandsynligheder
Fordelingsfunktion
- Sammenhængen mellem F og Φ

Hvad er standardnormalfordelingen?

Standardnormalfordelingen er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og spredning σ = 1, dvs. N(0,1).

At en stokastisk variabel Z er standardnormalfordelt betyder derfor, at Z har middelværdi μ = 0 og spredning σ = 1, dvs. Z ~ N(0,1).

Når en stokastisk variabel er standardnormalfordelt, så bruger vi typisk bogstavet Z frem for X.

Tæthedsfunktion

Når X ~ N(μ,σ), så er tæthedsfunktionen givet ved

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot \left ( \frac{x- \mu}{\sigma} \right )^2}, \quad x \in \mathbb{R}$

Tæthedsfunktionen for Z ~ N(0,1) kaldes φ. φ er det græske bogstav "phi" (læses "fi").Vi bestemmer forskriften for φ ved at sætte μ = 0 og σ = 1:

$\begin{align*} \varphi (x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot 1} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{x \text{ - } 0}{1} \right )^2} \\[1em] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot x^2} \\[1em] \end{align}$

φ er altså givet ved

$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2}, \quad x \in \mathbb{R}$

Grafen for φ (dvs. normalfordelingskurven) kan ses herunder:

Da normalfordelingskurven er symmetrisk omkring middelværdien, og middelværdien i standardnormalfordelingen er 0, så er normalfordelingskurve...