Normale og exceptionelle udfald

Indhold

Sandsynligheden for et udfald inden for 1, 2 eller 3 spredninger
- Eksempel: Bestem P(4 ≤ X ≤ 10)
- Eksempel: Bestem P(X < 15)
Normale og exceptionelle udfald

Sandsynligheden for et udfald inden for 1, 2 eller 3 spredninger

Når X er en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi μ og spredning σ, så er

$\begin{align*} P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) &\approx 68,27% \\[1em] P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) &\approx 95,45% \\[1em] P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) &\approx 99,73% \end{align}$

Sandsynlighederne herover gælder for alle normalfordelte stokastiske variable. Hvis vi ved, at X er normalfordelt, så ved vi altså, at der fx er 95,45% sandsynlighed for, at X antager en værdi i intervallet [μ - σ;μ + σ].

Da normalfordelingskurven er symmetrisk omkring middelværdien μ, så er sandsynlighederne også "symmetriske omkring middelværdien":

P(X ≤ μ - k) = P(X ≥ μ + k), hvor k er et reelt tal

Hvis fx X ~ N(5,1), så er

$\begin{align*} P(X \leq 3) &= P(X \leq {\color{Orange}5} - {\color{Purple}2}) \\[0.5em] &= P(X \geq {\color{Orange}5} + {\color{Purple}2}) \\[0.5em] &= P(X \geq 7) \end{align}$

Eksempel: Bestem P(4 ≤ X ≤ 10)

En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi μ = 7 og spredning σ = 3. Vi skal bestemme sandsynligheden for, at X antager en værdi mellem 4 og 10, dvs. P(4 ≤ X ≤ 10).

Vi bemærker, at

$\begin{align*} \mu - \sigma &= 7 - 3 \\[0.5em] &= 4 \\[1em] \mu + \sigma &= 7 + 3\\[0.5em] &= 10 \end{align}$

Dermed er

$\begin{align*} P(4 \leq X \leq 10) &= P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \\[0.5em] &\approx 68,27% \end{align}$

Sandsynligheden for at X antager en værdi mellem 4 og 7 er 68,27%.

Eksempel: Bestem P(X < 15)

En stokastisk variabel X er normalfordel...