Sandsynlighed

Sandsynligheden for at X antager en værdi mindre end a

Når X er normalfordelt, så benytter vi den tilhørende normalfordelingskurve til at bestemme sandsynligheden for en hændelse.

Sandsynligheden for at X højst antager værdien a, dvs. P(Xa), er arealet under normalfordelingskurven fra -∞ til a:

Da normalfordelingskurven er grafen for tæthedsfunktionen f, så er arealet under normalfordelingskurven fra -∞ til a givet ved

\int_{-\infty}^{a} f(x)dx

Dermed er

P(X \leq a) = \int_{-\infty}^{a} f(x) dx

Vi bestemmer oftest sandsynligheder i en normalfordeling med et CAS-værktøj. I mange tilfælde er det vores eneste mulighed, fordi integralet ikke kan løses med de metoder, vi benytter til at løse integraler uden hjælpemidler.

Eksempel

En stokastisk variabel X er normalfordelt: X N(9,3).

Vi bestemmer sandsynligheden for, at X højst antager værdien 5, dvs. P(X ≤ 5):

\begin{align*} P(X \leq 5) &= \int_{-\infty}^{5} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot 3} e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-9}{3} \right )^2} dx \\[1em] &\approx 0,0912 \\[1em] &\approx 9,12% \end{align}

Sandsynligheden for at X højst antager værdien 5 er 9,12%.

Arealet under en normalfordelingskurve er 1

Arealet under en normalfordelingskurve er givet ved

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx

Med et CAS-værktøj kan vi beregne, at

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1

Arealet under en n...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind