Riemann-integraler

Indhold

Hvad er Riemann-integraler?
Kontinuerte funktioner defineret på lukkede intervaller er Riemann-integrable
- Eksempel: f(x) = -x² + 5x - 4 er Riemann-integrabel
- Eksempel: Estimér integral af eksponentiel funktion
Infinitesimalregningens fundamentalsætning
- Eksempel

Hvad er Riemann-integraler?

Definition. Riemann-integraler.

En begrænset funktion f, der er defineret på et lukket interval [a;b], er Riemann-integrabel, hvis der eksisterer over- og undersummer, hvor forskellen er vilkårlig lille.

Når f er Riemann-integrabel, så findes der netop ét tal I, der adskiller undersummerne fra oversummerne. Vi definerer Riemann-integralet som dette tal I:

$\int_{a}^{b} f(x)dx = I$

Enhver undersum s er mindre end eller lig med enhver oversum S:

s ≤ S

Hvis der eksisterer over- og undersummer, der er vilkårligt tæt på hinanden, så må der findes en værdi I, der adskiller over- og undersummerne. Når en funktion f er Riemann-integrabel, så findes der altså et tal I, så

s ≤ I ≤ S

Riemann-integralet fra a til b er defineret som denne værdi I:

$\int_{a}^{b} f(x)dx = I$

Kontinuerte funktioner defineret på lukkede intervaller er Riemann-integrable

Sætning. Riemann-integrable kontinuerte funktioner.

Hvis f er en kontinuert funktion, der er defineret på et lukket interval [a;b], så er f Riemann-integrabel.

Når længden af det største delinterval i en middelsum σ går mod 0, så går middelsummen mod

...