Fikspunkter

Indhold

Hvad er et fikspunkt?
Bestem fikspunkterne
- Bestem fikspunkter ved beregning
- Bestem fikspunkter grafisk
Stabile og ustabile fikspunkter
- Afgør, om et fikspunkt er stabilt eller ustabilt

Hvad er et fikspunkt?

Definition. Fikspunkt.

Hvis en førsteordens differensligning (rekursionsligning) er på formen yn+1 = g(yn), hvor g er en kontinuert funktion, så er $\tilde{y}$ et fikspunkt, hvis

$\tilde{y} = g \left ( \tilde{y} \right )$

Som eksempel ser vi på differensligningen yn+1 = yn2 - 4 · yn, n = 0, 1, 2, ..., der netop er på formen yn+1 = g(yn), hvor

g(x) = x2 - 4 · x

Funktionen g er et polynomium. Da polynomier er kontinuerte, så er g en kontinuert funktion.

$\tilde{y} = 5$ er et fikspunkt for differensligningen, da

5 = g(5)

Vi viser, at g(5) = 5 ved at beregne g(5):

$\begin{align*} g(5) &= 5^2 - 4 \cdot 5 \\[1em] &= 25 - 20 \\[1em] &= 5 \end{align} \\$

Differensligningen har et andet fikspunkt, $\tilde{y} = 0$ , da

$\begin{align*} g(0) &= 0^2 - 4 \cdot 0 \\[1em] &= 0 \end{align}$

Bestem fikspunkterne

Vi kan bestemme fikspunkter grafisk eller ved beregning. Herunder gennemgår vi de to metoder.

Bestem fikspunkter ved beregning

Vi bestemmer fikspunkterne for differensligningen yn+1 = g(yn) ved at løse ligningen $\tilde{y} = g \left ( \tilde{y} \right )$ .

Ek...