Typer af førsteordens differensligninger

Indhold

Hvad er en førsteordens differensligning?
Førsteordens lineære differensligninger
- Løsning på lukket form
  - Eksempel: Bestem løsningen på lukket form
  - Eksempel: Bestem beløb på bankkonto
Førsteordens lineære differensligninger med konstante koefficienter
- Løsning på lukket form
  - Eksempel: Bestem løsningen på lukket form
  - Eksempel: Bestem beløb på bankkonto med løbende indskud
Diskret logistisk vækst
- Differensligninger og differentialligninger

Hvad er en førsteordens differensligning?

En førsteordens differensligning (rekursionsligning) er en differensligning, hvor yn+1 er bestemt ud fra det foregående element yn og ingen af de andre foregående elementer.

Løsningen til en førsteordens differensligning er en talfølge. En differensligning kan have uendeligt mange løsninger. Der findes dog kun én talfølge, der opfylder en bestemt begyndelsesbetingelse, og samtidig er en løsning til differensligningen.

Førsteordens lineære differensligninger

Definition. Førsteordens lineær differensligning.

En differensligning på formen

$y_{n+1} = a \cdot y_{n} + b(n), \quad n = 0,1,2, \dots$

hvor a er en konstant og b(n) er en funktion af n, kaldes en førsteordens lineær differensligning.

Her er et eksempel på en førsteordens lineær differensligning:

$y_{n+1} = 2 \cdot y_{n} + n^2, \quad n = 0,1,2, \dots$

I ovenstående differensligning er a = 2 og b(n) = n2.

b(n) er en funktion af n, men b(n) kan godt være en konstant funktion, fx b(n) = 5.

Differensligningen yn+1 = a · yn + b(n) er...