Beviser
Regneregler
Sætning. Regneregler for sandsynligheder.
Når A og B er to vilkårlige hændelser i et sandsynlighedsfelt (U,P), så gælder følgende regneregler:
![\begin{align*} &\text{a)} \hspace{0.1em} &&P(\bar{A}) = 1 - P(A) \\[1em] &\text{b)} &&\text{Hvis } A \subseteq B, \text{ s\aa \ er } P(A) \leq P(B). \\[1em] &\text{c)} &&P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\[1em] &\text{d)} && P(A) = P(A \cap \bar{B}) + P(A \cap B) \\[1em] &&& \hspace{2.3em} = P(A\setminus B) + P(A\cap B) \end{align}](/media/webbooks/preview/4147/53236/images/equations/brqfo_i8egwnc2laegib0q==.svg)
Du kan se, hvordan vi bruger regnereglerne til at beregne en lang række sandsynligheder, på siden Regning med sandsynligheder.
Bevis for a)
Vi lader A være en vilkårlig hændelse i et sandsynlighedsfelt (U,P).
Vi ved, at
- Komplementærhændelsen
består af netop de udfald, der ikke ligger i A. Hændelserne A og er derfor disjunkte, dvs. at P(A eller ) = P(A) + P(). - Et udfald ligger enten i A eller i , da består af netop de udfald, der ikke ligger i A. Sandsynligheden for at et udfald ligger i A eller er derfor den samme som sandsynligheden for, at udfaldet ligger i udfaldsrummet U dvs. at P(A eller ) = P(U).
- Summen af sandsynlighederne af alle udfaldene i udfaldsrummet er 1: P(U) = 1.
Tilsammen giver ovenstående punkter os, at
 | = |  |
| = |  | |
| = |  |
Vi trækker P(A) fra på begge sider af lighedstegnet i ligningen 
og får dermed
Vi har nu vist punkt a).
Bevis for b)
V...
