Analyse af modellen

Indhold

Befolkningstallet er konstant
Monotoniforhold for S, I og R
Hvornår udvikler et sygdomsudbrud sig til en epidemi?
Antallet af smittede (I) som funktion af antallet af modtagelige (S)
Antallet af personer, der aldrig bliver syge
Det maksimale antal smittede på én gang
Antallet af smittede i alt

Befolkningstallet er konstant

Vi bemærker, at

$\begin{align*} S'(t) + I'(t) + R'(t) &= -\alpha SI + \left ( \alpha SI - \gamma I \right ) + \gamma I \\ &= 0 \end{align*}$

Den samlede ændring i befolkningstallet er altså 0, dvs. at modellen beskriver en befolkning med et konstant befolkningstal. At befolkningstallet er konstant, skyldes, at vi fortsat tæller de individer med, som er døde af sygdommen.

Vi kalder befolkningstallet N. Så er

$\begin{align*} S(t) + I(t) + R(t) = N \end{align*}$

Monotoniforhold for S, I og R

Monotoniforholdene for de tre funktioner S, I og R beskriver, om antallet af hhv. modtagelige, smittede og immune individer er faldende eller voksende.

I beregningerne benytter vi, at

infektionsraten er positiv, dvs. at α > 0.
helbredelsesraten er positiv, dvs. at γ > 0.
antallet af modtagelige individer er større end 0, dvs. at S > 0.
antallet af smittede individer er større end 0, dvs. at I > 0.

S' = -αSI

Vi starter med at se på den første differentialligning:

$S' = - \alpha SI$

Da α > 0, S > 0, og I > 0, så er S' < 0. Den afledte funktion S' er altså en negativ funktion, hvilket betyder, at S er en aftagende funktion. Antallet af modtagelige individer er altså faldende under epidemien.

I' = (S - γ/α)αI

Vi ser nu på den anden differentialligning:

$I' = \left ( S - \frac{\gamma}{\alpha} \right )\alpha I$

Vi ved, at α > 0 og I > 0, så det er værdien af S - γ/α, der afgør, om funktionen I' er positiv eller negativ:

Hvis S > γ/α, så er I' > 0. Den afledte funktion I' e

...