Maj 2023

1,3 km

Træk Almas afstand til skolen (1,8 km) fra Emils afstand til skolen (3,1 km).

Vi beregner, hvor meget længere Emil har til skole end Alma:

3,1 - 1,8 = 1,3

Emil har 1,3 km længere til skole end Alma.

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

3,1 - 1,8

18 km

Husk, at Alma både cykler 1,8 km til skole og 1,8 km fra skole.

Vi beregner, hvor langt Alma har cyklet i løbet af en uge:

5 · 2 · 1,8 = 18

Alma har cyklet 18 km til og fra skole.

Alma cykler 1,8 km til skole og 1,8 km fra skole, så hun cykler 2 · 1,8 km hver dag. Vi får oplyst, at hun i en uge har cyklet til og fra skole alle fem skoledag, dvs. at hun har cyklet 5 · 2 · 1,8 km.

89,5%

Du kan beregne, hvor stor en andel A udgør af B med formlen:

Vi beregner, hvor meget 179 dage udgør af 200 dage:

179 : 200 = 0,895

Alma har cyklet til og fra skole 89,5% af skoledagene i 10. klasse.

Regneudtrykket giver et decimaltal, som vi omregner til procent. Vi omregner til procent ved at gange med 100, dvs. ved at rykke kommaet to pladser mod højre:

0,895 = 89,5%

104 dage

Beregn først, hvor langt Alma har cyklet til og fra skole i alt i 10. klasse.

Vi beregner, hvor mange km Alma har cyklet til og fra skole i alt i 10. klasse:

179 · 2 · 1,8 = 644,4

Vi beregner, hvor mange dage Emil har cyklet til og fra skole:

Emil har cyklet til og fra skole 104 dage i 10. klasse.

Alma cykler 2 · 1,8 km til og fra skole hver dag. Vi får oplyst, at hun har cyklet til og fra skole 179 dage i 10. klasse, dvs. at hun i alt har cyklet 179 · 2 · 1,8 km til og fra skole i 10. klasse.

Emil cykler 2 · 3,1 km til og fra skole hver dag. Vi beregner, hvor mange dage han har cyklet til og fra skole, når han har cyklet lige så langt i alt som Alma (dvs. 644,4 km) ved at dele den samlede afstand (644,4 km) med den afstand, han kører pr. dag (2 · 3,1 km).

Beregn først, hvor meget højere Almas rampe bliver end rampen på tegningen.

Vi beregner, hvor meget højere Almas rampe bliver end rampen på tegningen:

32 · 0,5 = 16

Vi beregner, hvor høj Almas rampe bliver:

32 + 16 = 48

Almas rampe bliver 48 cm høj.

Alma vil bygge sin rampe, så den er 50% højere end rampen på tegningen, som er 32 cm høj. Vi beregner 50% af 32 ved at beregne 32 · 0,5.

Vi beregner højden på Almas rampe ved at lægge de 50% ekstra højde (16 cm) til højden på rampen på tegningen (32 cm).

185,5 cm

Vi bruger sinus til at beregne længden af Almas rampe:

Almas rampe bliver 185,5 cm lang.

Fra siden har Almas rampe form som en retvinklet trekant. Længden af rampen er længden af trekantens hypotenuse.

Vi ved, at

Vi får oplyst, at Almas rampe har samme hældning som rampen på tegningen (dvs. 15°). Dermed er

Vi ganger med længden af rampen på begge sider af lighedstegnet og får så

Vi deler med sin⁡(15°) på begge sider af lighedstegnet og får så

Vi har beregnet, at højden er 48 cm.

Vi bruger sinus til at beregne højden på Emils rampe:

Emils rampe bliver ca. 43 cm høj.

Fra siden har Emils rampe form som en retvinklet trekant. Længden af rampen er længden af trekantens hypotenuse.

Vi ved, at

Vi får oplyst, at Emil overvejer at bygge sin rampe, så den får en hældning på 20°. Dermed er

Vi ganger med længden af rampen på begge sider af lighedstegnet og får så

Vi får oplyst, at Emil overvejer at bygge sin rampe, så den har samme længde som rampen på tegningen (125 cm).

Ja.

Fra siden har en rampe form som en retvinklet trekant. Længden af rampen er længden af trekantens hypotenuse.

Vi ved, at

Hvis en rampe har en hældning på 20°, så er

	=
	≈

Emil har ret i, at højden divideret med længden er ca. 0,34 på alle ramper med en hældning på 20°.

Vi bruger sinus ligesom i opgave 2.2 og 2.3.

Firma A: 100 minutter eller mindst 121 minutter.

Firma B: 50 - 60 minutter eller 100 - 120 minutter.

Firma C: 1 - 50 minutter eller 61 - 100 minutter.

Lav et skema som nedenstående:

Vi beregner prisen for at leje et elløbehjul ved hvert firma 1 - 300 minutter i Excel:

Det kan bedst betale sig for Alma at leje et elløbehjul ved firma A, hvis hun lejer løbehjulet netop 100 minutter eller mindst 121 minutter, dvs. mere end 2 timer.

Det kan bedst betale sig for Alma at leje ved firma B, hvis hun lejer løbehjulet 50 - 60 minutter eller 100 - 120 minutter.

Det kan bedst betale sig for Alma at leje ved firma C, hvis hun lejer løbehjulet 1 - 50 minutter eller 61 - 100 minutter.

Formlerne kan ses herunder:

Firma A: Prisen er 1 kr. pr. minut + 100 kr. i startgebyr, dvs. at prisen ved firma A er 100 kr. + antal minutter.

Firma B: Prisen er 100 kr. pr. påbegyndt time, dvs. at prisen ved firma B er 100 kr. for 1 - 60 minutter, 200 kr. for 61 - 120 minutter osv.

Firma C: Prisen er 2 kr. pr. minut, dvs. at prisen ved firma C er det dobbelte af antallet af minutter.

Emil skal betale lånet tilbage på 24 måneder, og han skal betale 29 kr. i gebyr pr. måned.

Vi beregner, hvor meget Emil skal betale i gebyr:

24 · 29 = 696

Vi beregner derefter, hvad Emil skal betale i oprettelse og gebyr:

696 + 400 = 1096

Emil skal betale 1096 kr. i oprettelse og gebyr, hvis han låner pengene i butikken.

Vi får oplyst, at Emil skal betale pengene tilbage på 24 måneder, og at han skal betale et gebyr på 29 kr. pr. måned, dvs. at han i alt skal betale 24 · 29 kr. (dvs. 696 kr.) i gebyr.

Vi får også oplyst, at han skal betale 400 kr. i oprettelse, så i alt skal han betale 400 kr. + 696 kr.

Når Emil betaler ydelser til banken, så bliver restgælden mindre.

Emil skal betale 0,70% pr. måned i rente, dvs. at han hver måned skal betale 0,70% af restbeløbet i renter.

Da Emil betaler 227,05 kr. i ydelse hver måned, så tilbagebetaler han en del af det lånte beløb hver måned, dvs. at restgælden bliver mindre måned for måned. Da restgælden bliver mindre måned for måned, og Emil skal betale 0,70% af restgælden i renter, så skal Emil betale mindre og mindre i rente hver måned.

Hver måned betaler Emil 227,05 kr. i ydelse. Ydelsen går til at tilbagebetale lånet, dvs. at restgælden falder hver måned.

1,66%

Det bliver samlet set billigere for Emil at låne pengene i butikken end i banken, hvis ydelsen i banken bliver større end ydelsen i butikken.

Vi ændrer renten til 1,65%:

Hvis renten stiger til 1,65% pr. måned i banken, så skal Emil betale en ydelse på 253,99 kr. Hvis Emil låner pengene i butikken, så skal han betale 254,00 kr. i ydelse. Hvis renten stiger til mindst 1,66% pr. måned i banken, så vil ydelsen derfor blive større end den ydelse, han skal betale, hvis han låner pengene i butikken. Samlet set er det derfor billigere for Emil at låne pengene i butikken end i banken, hvis renten stiger til mindst 1,66%.

Vi prøver os frem ved at øge den månedlige rente lidt ad gangen, indtil ydelsen, der skal betales til banken bliver (næsten) identisk med ydelsen, der skal betales til butikken.

Ydelsen til butikken er 254,00 kr. pr. måned. Når renten er 1,65% pr. måned, så skal Emil betale 253,99 kr. i ydelse til banken, og hvis renten er 1,66% pr. måned, så skal Emil betale 254,28 kr. pr. måned.

Vi beregner antal kørte km pr. ulykke ved at dele antal kørte km med antal ulykker:

2880000000 : 3048 ≈ 944881,9

Cyklister kørte 944882 km pr. ulykke.

Vi aflæser i tabellen, at der blev kørt 2.880.000.000 km på cykel i Danmark i 2019, og at der var 3048 cykelulykker. Vi beregner antal km. pr. ulykke ved at dele antal kørte km med antal ulykker:

4,75 ulykker

Der er 12 måneder på et år.

Vi beregner det gennemsnitlige antal ulykker med elløbehjul pr. måned:

57 : 12 = 4,75

Der skete i gennemsnit 4,75 ulykker med elløbehjul om måneden i 2019.

Vi aflæser i tabellen, at der skete 57 ulykker med elløbehjul i Danmark i 2019. Da der er 12 måneder på et år, så beregner vi det gennemsnitlige antal ulykker pr. måned ved at dele 57 med 12.

Alma har ret.

Undersøg, hvor meget længere der blev kørt på cykel pr. ulykke end på løbehjul pr. ulykke.

Vi beregner, hvor meget længere der blev kørt på cykel end på løbehjul pr. ulykke:

944882 : 140351 ≈ 6,7

Der blev kørt næsten 7 gange så langt på cykel pr. ulykke som på løbehjul, dvs. at risikoen for at komme ud for en ulykke på elløbehjul var ca. 7 gange så stor
som risikoen for at komme ud for en ulykke på cykel. Alma har altså ret.

Der blev kørt ca. 7 gange så langt på cykel for hver ulykke, som der blev kørt på elløbehjul for hver ulykke. Vi kan derfor godt argumentere for, at risikoen for at komme ud for en ulykke på elløbehjul var ca. 7 gange så stor som risikoen for at komme ud for en ulykke på cykel.

2027

Du kan fx lave et skema som herunder:

Vi beregner antal ulykker på elløbehjul pr. år, hvis antallet af ulykker stiger med 25% pr. år:

Hvis forskerne får ret, så vil det årlige antal ulykker på elløbehjul være større end 300 i år 2027.

Formlerne kan ses herunder:

Forskere har forudset, at antallet af ulykker på elløbehjul vil stige med 25% pr. år, dvs. at antallet af ulykker ét år vil være 125% af antallet af ulykker året før. Vi kan beregne 125% af et tal ved at gange tallet med 1,25, så vi beregner antallet af ulykker ét år ved at gange antal ulykker året før med 1,25.

27

Når vi bytter om på cifrene i tallet 36, så får vi 63.

Resultatet bliver 27, hvis tallet i trin 1 er 36.

Vi beregner forskellen mellem tallene fra trin 1 og 2 ved at trække det mindste tal fra det største.

33

(11, 22, 44, 55, 66, 77, 88, 99 duer også).

Resultatet i trin 3 er 0, når de to tal i trin 1 og 2 er ens.

Resultatet i trin 3 bliver 0, hvis man vælger 33 i trin 1.

Resultatet i trin 3 er 0, når de to tal i trin 1 og 2 er ens, dvs. når tallet består af to ens cifre.

10, 12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 54, 56, 65, 67, 76, 78, 87, 89 og 98.

Prøv dig frem med forskellige tal og undersøg, om de tal i trin 1, hvor resultatet i trin 3 bliver 9, har noget til fælles.

Resultatet bliver 9 i trin 3, hvis det ene ciffer i tallet i trin 1 er 1 større end det andet ciffer, dvs. hvis tallet i trin 1 er 10, 12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 54, 56, 65, 67, 76, 78, 87, 89 eller 98.

Vi kan fx se, at

81

Prøv dig frem med forskellige tal i trin 1 og undersøg, om tallene i trin 3 har noget til fælles.

Vi prøver med nogle forskellige tal i trin 1:

Det ser ud til, at tallene i trin 3 altid er 0 eller tal fra 9-tabellen. Da tallene i trin 1 er tocifrede, så vil tallene i trin 3 altid være mindre end 100.

Der findes ikke et tal, der kan stå i trin 1, så tallet i trin 3 bliver 90 eller 99, men hvis vi starter med 90 i trin 1, så får vi tallet 81 i trin 3. Resultatet i trin 3 kan højst blive 81.

Tallene i 9-tabellen (som er mindre end 100) er 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 og 99.

Hvis vi starter med tallet 90 i trin 1, så får vi tallet 81 i trin 3. Hvis tallet i trin 3 skal være 90 eller 99, så skal tallet i trin 1 (eller trin 2) være større end 90, men hvis vi prøver med tallene 91 - 99, så får vi et resultat mindre end 81 i trin 3.

Femkanten har en vinkelsum på 540°, og alle vinklerne er lige store.

Femkanten har en vinkelsum på 540°, og alle vinklerne er lige store. Vi beregner størrelsen på hver vinkel i femkanten:

540° : 5 = 108°

Hver vinkel i femkanten er 108°, så vinkel v er 108°.

Vi får oplyst, at femkanten er regulær, og at alle vinklerne i en regulær figur er lige store, dvs. at alle vinklerne i femkanten er lige store. Vi får også oplyst, at femkantens vinkelsum er 540°. Da femkanten har fem vinkler, så er størrelsen på hver vinkel 540° : 5.

Vinkel v og vinkel w er tilsammen 180°:

Vinkel v og vinkel w er tilsammen 180°:

Vinkel w er 72°.

Vinkelsummen i en cirkel er 360°, så vinkelsummen i en halvcirkel er 180°. Vinkel v og vinkel w spænder tilsammen over en halvcirkel, så summen af de to vinkler er 180°:

Emil har ret.

Hver af de blå vinkler er en af vinklerne i en ligebenet trekant, hvor de to andre vinkler er 72°.

Vi ser på en af stjernens blå, spidse vinkler. Den blå vinkel er en af vinklerne i en ligebenet trekant, hvor de to andre vinkler er 72°. Vi bestemmer den blå vinkel, u:

Den blå vinkel er 36°.

Da femkanten i midten af stjernen er regulær, så er alle stjernens spidse vinkler lige store, dvs. at hver af stjernens spidse vinkler er 36°.

Vi beregner summen af de fem spidse vinkler:

5 · 36° = 180°

Summen af de fem spidse vinkler er 180°, så vinkelsummen af de fem spidser svarer til vinkelsummen i en trekant, som også er 180°.

Stjernen kan opdeles i en femkant og fem trekanter. Da femkanten i midten er en regulær femkant, så er de fem trekanter ligebenede. Trekanterne er også ligedannede, dvs. at vinklerne i trekanterne er parvist lige store.

Da trekanterne er ligebenede, så er to af vinklerne lige store. De to lige store vinkler er hver w = 72°.

To parallelogrammer kan godt have sider, der er parvist lige lange, uden at parallelogrammerne er ens, da de er spejlinger af hinanden.

Vi tegner forskellige firkanter, der opfylder de to betingelser:

Vær opmærksom på, at nogle parallelogrammer har sider med samme længder, men de er alligevel forskellige, da de er spejlinger af hinanden. Fx er de to nedenstående parallelogrammer ikke ens:

Siderne i begge parallelogrammer har længderne √17 og √29, men det ene parallelogram kan ikke flyttes, så det dækker det andet, hvilket vi kan se ved at rotere dem, så de står "fladt" på den lange side:

Andre parallelogrammer er ikke forskellige, fordi det ene parallelogram kan roteres og flyttes, så det dækker det andet. Her er et eksempel:

Hvis vi roterer det venstre parallelogram herover en kvart omgang (90°) med uret, så kan det dække det højre parallelogram.