Maj 2020

Familien består af 5 personer.

Vi beregner prisen for rejsen:

5 · 179 = 895

Rejsen koster 895 kr. for familien.

Annette skal ud og rejse sammen med sin mor, far og to mindre søskende, så familien består af 5 personer. Vi ganger prisen pr. person med 5.

134,25 kr.

Beregn 15% af 895 kr.

Vi beregner, hvor mange penge familien kan få i rabat:

895 · 0,15 = 134,25

Familien kan få 134,25 kr. i rabat.

Vi får oplyst, at familien kan få 15% i rabat. Da 15% = 0,15, så beregner vi 15% af 895 kr. ved at gange 895 med 0,15.

Beregn prisen for morgenmad, frokost og aftensmad. Husk drikkevarer!

Vi beregner, hvad familien kan betale for hvert måltid:

Morgenmad:

5 · 109 = 545

Frokost:

5 · 129 + 5 · 36 = 825

Aftensmad:

5 · 149 + 3 · 36 + 2 · 49 = 951

Vi beregner, hvor meget familien skal bruge på mad og drikke:

545 + 825 + 951 = 2321

Familien kommer til at bruge omkring 2350 kr., afhængig af hvilke drikkevarer de vælger.

Vi får oplyst, at prisen for morgenmad er 109 kr. pr. person. Prisen er inkl. drikkevarer, så vi beregner prisen for morgenmad ved at gange 109 kr. med 5.

Vi får oplyst, at prisen for frokost er 129 kr. pr. person. Prisen for frokost for 5 personer er derfor 5 · 129. Hvis de alle 5 får sodavand til frokost (36 kr. pr. stk.), så er prisen for drikkevarer 5 · 36. Den samlede pris for frokost er derfor 5 · 129 + 5 · 36.

Vi får oplyst, at prisen for aftensmad er 149 kr. pr. person. Prisen for aftensmad for 5 personer er derfor 5 · 149. Hvis børnene får sodavand (36 kr. pr. stk.) og forældrene får øl (49 kr. pr. stk.), så er prisen for drikkevarer 3 · 36 + 2 · 49. Den samlede pris for aftensmad er derfor 5 · 149 + 3 · 36 + 2 · 49.

Vi lægger prisen for morgenmad, frokost og aftensmad sammen.

14,9 km

Brug formlen i den gule boks. Indsæt h = 15.

Vi beregner afstanden til kimingen:

3,85 · √15 ≈ 14,91099

Afstanden til kimingen er ca. 14,9 km.

Vi bruger formlen i den gule boks. Vi får oplyst, at Annettes øjenhøjde er 15 m over havet, så vi sætter h = 15 ind i formlen.

Ca. 42 m.

Sæt a = 25 ind i formlen i den gule boks, og beregn h.

Vi beregner, hvor mange meter over havet Annettes øjenhøjde skal være, med formlen:

25 = 3,85 · √h

√h = 25/3,85

h = (25/3,85)² ≈ 42,16563

Annettes øjenhøjde skal være ca. 42 m over havet.

Vi bruger formlen i den gule boks. Vi sætter a = 25 ind i formlen:

25 = 3,85 · √h

Vi deler med 3,85 på begge sider af lighedstegnet:

√h = 25/3,85

Vi beregner h ved at sætte 25/3,85 i anden:

h = (25/3,85)² ≈ 42,16563

Brug Pythagoras' sætning.

Annette kan bruge Pythagoras' sætning:

6371² + a² = 6371,015²

Vi løser ligningen og får a = 13,82499.

Der er ca. 13,8 km til kimingen.

Vi kan se, at der er en retvinklet trekant på figuren. Den ene katete er afstanden fra Annette til kimingen. Længden af den anden katete er jordens radius på 6371 km.

Hypotenusen er jordens radius lagt sammen med Annettes højde over havet. Annette er 15 m over havet, hvilket svarer til 0,015 km., så længden af hypotenusen er 6371,015 km.

Vi sætter tallene ind i Pythagoras' sætning.

Vi løser ligningen. Du kan fx løse ligningen med et CAS-værktøj. Du kan løse ligningen i GeoGebra™ ved at bruge CAS-vinduet. Skriv Løsninger(6371^2+a^2=6371,015^2) i input-feltet og klik på "≈".

Regn efter, om tallene i tilbuddene er korrekte.

Tilbud 1: Regn prisen pr. stk.

Tilbud 2: Beregn besparelsen i procent.

Tilbud 3: Beregn, hvor meget prisen er sat ned.

Tilbud 4: Beregn kiloprisen.

Tilbud 5: Beregn besparelsen i procent.

Tilbud 6: Beregn kiloprisen.

Tilbud 1

Vi beregner prisen pr. stk.:

125/5 = 25

Prisen er 25 kr. pr. stk.

Ny tekst: KØB 5 FOR 125 kr. (25 kr. pr. stk.)

Tilbud 2

Vi beregner, hvor meget varen er sat ned:

219 - 199 = 20

Vi beregner besparelsen i procent: 

20/219 ≈ 0,091

Varen er sat ned med ca. 9%.

Ny tekst: FØR 219 kr. NU 199 kr. DU SPARER 9%

Tilbud 3

Vi beregner, hvor meget varen er sat ned:

185 - 148 = 37

Varen er sat ned med 37 kr.

Der er ingen fejl i tilbud 3.

Tilbud 4

Vi beregner kiloprisen:

79,50/400 · 1000 = 198,75

Kiloprisen er 198,75 kr.

Ny tekst: 400 g 79,50 kr. (Pris pr. kg 198,75 kr.)

Tilbud 5

Når man får 3 og betaler for 2, så betaler man 2/3 af prisen, dvs. at man sparer 1/3.

Ny tekst: TAG 3 OG BETAL FOR 2. DU SPARER 33,3%

Tilbud 6

Vi beregner kiloprisen:

120/1,2 = 100

Kiloprisen er 100 kr.

Der er ingen fejl i tilbud 6.

Tilbud 1

Vi beregner prisen pr. stk. ved at dele prisen med antallet af varer. Vi retter prisen pr. stk. i teksten.

Tilbud 2

Vi beregner først, hvor meget prisen er sat ned, ved at trække den nye pris fra den gamle pris. Vi beregner derefter, hvor stor besparelsen er i procent ved at dele besparelsen (20 kr.) med den oprindelige pris (219 kr.). Vi retter besparelsen i procent i teksten.

Tilbud 3

Vi beregner, hvor meget prisen er sat ned, ved at trække den nye pris fra den gamle pris. Resultatet stemmer overens med teksten på plakaten, så der er ingen fejl i tilbuddet.

Tilbud 4

Vi deler prisen med 400 g og får derved prisen pr. g. Vi ganger med 1000 for at få prisen pr. kg. Vi retter kiloprisen i teksten.

Tilbud 5

Når man betaler for 2 ud af 3 varer, så sparer man prisen for 1 ud af 3 varer. Man sparer derfor 1/3 af prisen. 1/3 ≈ 33,3%, så man sparer 33,3%. Vi retter besparelsen i procent i teksten.

Tilbud 6

Vi får oplyst prisen for 1,2 kg. Vi deler prisen med 1,2 for at få prisen for 1 kg. Resultatet stemmer overens med teksten på plakaten, så der er ingen fejl i tilbuddet.

Aflæs, hvornår antallet af passagerer er steget, er faldet eller har været nogenlunde stabilt.

Antallet af passagerer steg nogenlunde jævnt fra ca. 3,9 mio. i 2000 til ca. 4,1 mio. i 2007. Fra 2007 til 2009 var der et tydeligt fald i antallet af passagerer. Antallet af passagerer steg igen nogenlunde jævnt fra ca. 3,4 mio. i 2010 til ca. 3,7 mio. i 2015. Fra 2015 til 2018 har antallet af passagerer ligget nogenlunde jævnt på ca. 3,7 mio.

De blå søjler i diagrammet angiver antallet af passagerer. Antallet af passagerer aflæses på y-aksen.

Beregn forholdet mellem antal passagerer og antal biler ved at dele antallet af passagerer med antallet af biler.

Vi beregner forholdet mellem antal passagerer og antal biler:

3909000/643810 ≈ 6,071667

Der var ca. 6 gange så mange passagerer med som biler i 2000, dvs. at forholdet var ca. 6 : 1.

Vi aflæser i Excel-filen, at der var 3909000 passagerer og 643810 biler med færgerne i 2000. Vi beregner forholdet mellem antal passagerer og antal biler ved at dele antallet af passagerer med antallet af biler. Resultatet er ca. 6, dvs. at der var ca. 6 passagerer for hver bil, så forholdet er ca. 6 : 1.

Beregn forholdet mellem antal passagerer og antal biler hvert år (fx i Excel).

Vi beregner forholdet mellem antal passagerer og antal biler hvert år ved at dele antal passagerer med antal biler:

Vi kan se, at forholdet mellem antal passagerer og antal biler er faldet nogenlunde jævnt fra ca. 6 : 1 i 2000 til ca. 4 : 1 i 2018.

Her kan du se de formler i Excel, som vi har brugt:

Kagen kan fx deles i 2 på den ene led og 5 på den anden led.

Kagen er kvadratisk med sidelængden 20 cm. Vi deler kagen i 2 på den ene led og i 5 på den anden led. Derved får vi 10 stykker, der hver er 10 cm x 4 cm.

Beregn arealet af hvert kagestykke. Læg mærke til, at nogle af stykkerne er lige store.

Kagestykkerne I og II er lige store. Vi beregner arealet af hvert af stykkerne:

1/2 · 10 · 16 = 80

Kagestykkerne III og IV er lige store. Vi opdeler hvert stykke i to trekanter og beregner arealet:

1/2 · 10 · 4 + 1/2 · 10 · 12 = 80

Kagestykke V kan opdeles i to lige store trekanter. Vi beregner arealet:

2 · 1/2 · 8 · 10 = 80

Alle kagestykkerne er 80 cm² store, så Annette har ret.

Vi bestemmer arealerne af kagestykkerne ved at dele dem op i trekanter. Vi bestemmer arealet af en trekant ud fra højden (h) og grundlinjen (g):

Kagestykke I og II

Hvert kagestykke har form som en trekant, hvor længden af grundlinjen er 16 cm. Højden er halvdelen af kagens bredde/længde. Da kagen er 20 cm bred/lang, så er højden 10 cm. Vi beregner arealet af hvert stykke kage med formlen for arealet af en trekant:

1/2 · 10 · 16

Kagestykke III og IV

Hvert kagestykke har form som en firkant. Vi deler hvert stykke op i to trekanter (se tegningen herover). I den ene trekant (grøn) er længden af grundlinjen 12 cm, mens højden er 10 cm. I den anden trekant (rød) er længden af grundlinjen 4 cm, mens højden er 10 cm. 

Vi beregner arealet af hver trekant. Vi beregner arealet af hvert kagestykke ved at lægge arealerne af trekanterne sammen:

1/2 · 10 · 4 + 1/2 · 10 · 12= 80

Kagestykke V

Kagestykket kan opdeles i to lige store trekanter (blå og lilla). I hver trekant er længden af grundlinjen 8 cm, mens højden er 10 cm. Vi beregner arealet af en af trekanterne:

1/2 · 8 · 10

Da trekanterne er lige store, så kan vi beregne arealet af kagestykket ved at gange arealet af en af trekanterne med 2:

2 · 1/2 · 8 · 10

Annettes metode kan bruges, uanset hvor mange stykker kagen skal deles i.

Du kan fx undersøge, hvilken form stykkerne får, og hvad du kan sige om, hvorfor stykkerne er lige store. Du kan også prøve dig frem med forskellige antal kagestykker og tjekke, at stykkerne bliver lige store.

Når man bruger Annettes metode, så bliver alle kagestykkerne enten firkantede eller trekantede.

Da omkredsen deles op i lige store dele, så er længden af grundlinjerne i alle trekanterne den samme. Alle højderne er også lige store, da de er halvdelen af kagens bredde (10 cm). Da alle grundlinjerne er lige lange og alle højderne er lige lange, så er alle de trekantede kagestykker lige store.

De firkantede kagestykker kan deles op i to trekanter. Højden i de to trekanter er halvdelen af kagens bredde (10 cm). Grundlinjerne i de to trekanter er tilsammen lige så lange som grundlinjerne i de trekantede kagestykker. De firkantede kagestykker kan altså deles op i to trekanter, der tilsammen er lige så store som de trekantede kagestykker. De firkantede kagestykker er altså lige så store som de trekantede kagestykker, dvs. at alle kagestykkerne er lige store. Annettes metode kan derfor bruges til at opdele kagen i et andet antal stykker, fx 8 stykker.

Vi har lavet en generel beskrivelse af, hvorfor Annettes metode kan bruges. Du kan også prøve dig frem med forskellige antal stykker og tjekke, at stykkerne bliver lige store.

Du kan fx tegne stykkerne i GeoGebra™ eller et andet dynamisk geometriprogram.

Du skal afprøve mindst 4 forskellige antal stykker, og antallet af stykker må ikke alle sammen være i 4-tabellen. Du kan fx afprøve 4, 6, 7 og 8 stykker.

Gang CO₂-udledningen pr. km med antal km og derefter med antal personer.

Vi beregner, hvor stor en CO₂-udledning familien står for:

170 · 509 · 5 = 432650

432650 g er ca. 433 kg, så Annettes familie står tilsammen for udledning af ca. 433 kg CO₂.

Vi får oplyst, at færgen udleder ca. 170 g CO₂ pr. passager pr. km. Vi får også oplyst, at sejlturen er ca. 509 km. Vi ganger 170 med 509 for at få CO₂-udledningen pr. passager på hele sejlturen. Derefter ganger vi med 5, fordi familien består af 5 personer:

170 · 509 · 5

Vi omregner resultatet til kg, da opgaven spørger til familiens CO₂-udledning i kg.

Sammenhængen mellem færgens CO₂-udledning pr. passager og hvor langt færgen har sejlet, er

f(x) = a · x

f(x) er færgens CO₂-udledning pr. passager.

x er hvor langt færgen har sejlet i km.

a er færgens CO₂-udledning i kg pr. passager pr. km.

Vi får oplyst, at færgen udleder ca. 170 g CO₂ pr. passager pr. km. Da 170 g er 0,17 kg, så udleder færgen ca. 0,17 kg CO₂ pr. passager pr. km.

Vi kan beregne færgens CO₂-udledning pr. passager ved at gange 0,17 med antal km færgen har sejlet. Hvis x er antal km, og f(x) er færgens CO₂-udledning pr. passager, så er

f(x) = 0,17 · x

Bestem CO₂-udledningen pr. passager pr. km.

Sammenhængen kan beskrives med funktionen

f(x) = 0,223x

Vi får oplyst, at sammenhængen er lineær, så CO₂-udledningen vokser med den samme værdi for hver ekstra kilometer, der flyves.

Da der udledes 22,3 kg CO₂ pr. passager, når flyveturen er 100 km lang, så kan vi bestemme CO₂-udledningen pr. passager pr. kilometer ved at dele med 100:

22,3/100 = 0,223

Der udledes 0,223 kg. CO₂ pr. passager pr. kilometer.

Vi kan bestemme  CO₂-udledningen i kilogram pr. passager, f(x), ved at gange CO₂-udledningen pr. passager pr. km med flyveturens længde i kilometer, x. Dermed er

f(x) = 0,223x

Mindre

Beregn CO₂-udledningen pr. passager for flyveturen og derefter CO₂-udledningen for hele familien for flyveturen.

Vi beregner CO₂-udledningen pr. passager for flyveturen:

0,223 · 352 = 78,496

Vi beregner CO₂-udledningen for flyveturen for hele Annettes familie:

5 · 78,496 ≈ 392,48

Vi beregner forskellen mellem CO₂-udledningen for færgeturen og flyveturen: 

433 - 392,48 ≈ 40,52

Familien ville have stået for udledning af mindre CO₂ ved at flyve (ca. 41 kg mindre).

I opg. 6.3 bestemte vi en funktionsforskrift, der beskriver sammenhængen mellem en flyveturs længde, x, i km og udledningen af CO₂ pr. passager, f(x), i kg:

f(x) = 0,223x

Tallet 0,223 fortæller, at der udledes 0,223 kg CO₂ pr. passager pr. km på flyveturen.

Vi beregner CO₂-udledningen pr. passager for flyveturen mellem Aalborg og Oslo ved at gange 0,223 med længden af flyveturen (352 km).

Annettes familie består af 5 personer. Vi beregner CO₂-udledningen for flyveturen for hele familien ved at gange CO₂-udledningen pr. passager med 5.

I opg. 6.1 beregnede vi, at familiens samlede CO₂-udledning for færgeturen er ca. 433 kg. Vi beregner forskellen mellem familiens samlede CO₂-udledning for færgeturen og flyveturen ved at trække CO₂-udledningen for flyveturen (ca. 392 kg) fra CO₂-udledningen for færgeturen (ca. 433 kg). Vi når frem til, at færgeturen udleder ca. 41 kg CO₂ mere end flyveturen.

Tæl antallet af rækker og antallet af prikker i hver række i hver af figurerne.

Vi tæller antallet af rækker med prikker og antallet af prikker i hver række:

Vi bemærker, at der er lige så mange rækker i hver figur som figurnummeret, og at der er 1 prik mere i hver række end figurnummret. Så i figur 5 er der 5 rækker med 6 prikker i hver række.

420

Undersøg, hvor mange rækker der er i figur 20, og hvor mange prikker der er i hver række.

I figur 20 er der 20 rækker med 21 prikker i hver række.

Vi beregner antallet af prikker:

20 · 21 = 420

Der er 420 prikker i figur 20 i figurfølgen.

I opg. 7.1 fandt vi ud af, at der er lige så mange række i en figur som figurnummeret, og at antallet af prikker i hver række er 1 større end figurnummeret. Så i figur 20 er der 20 rækker med 21 prikker i hver række.

Vi beregner antallet af prikker i figuren ved at gange antallet af rækker med antallet af prikker i hver række.

n · (n + 1)

(n² + n eller n · n + n er også korrekte udtryk.)

Undersøg, hvor mange rækker der er i figur n, og hvor mange prikker der er i hver række.

I figur n er der n rækker med n + 1 prikker i hver række. Antallet af prikker i figur n er

n · (n + 1)

Der er lige så mange rækker som figurnummeret, dvs. at der er n rækker i figur n.

Der er 1 prik mere i hver række end figurnummeret, dvs. at der er n + 1 prikker i hver række i figur n.

Vi beregner antallet af prikker i en figur ved at gange antallet af rækker med antallet af prikker i hver række. Antallet af prikker i figur n kan dermed beregnes med regneudtrykket

n · (n + 1)

Regneudtrykkene n² + n eller n · n + n svarer til n · (n + 1), så de to regneudtryk er også korrekte.

Opstil en tabel, hvor du beregner, hvor mange flere prikker der er i en figur end i den forrige figur. Du kan fx lave en tabel over de første 8 figurer.

Vi opstiller en tabel:

Vi kan se, at antallet af prikker vokser med tallene i 2-tabellen. Vi kan også se, at forskellen mellem antallet af prikker i en figur og i den forrige figur er dobbelt så stort som figurnummeret. Vi kan derfor beregne, hvor mange flere prikker der er i en figur end i den forrige figur, ved at gange figurnummeret med 2.

Her kan du se formlerne i tabellen:

Du kan fx bruge et regneark til at prøve dig frem med forskellige placeringer af brikkerne.

Vi har tegnet en symmetriakse på hver figur:

Tegn så mange figurer, som du kan. Du får point for korrekte figurer, så selv om du evt. ikke kan komme på så mange figurer, så er det bedre at tegne nogle figurer end ingen.