Maj 2022

6900 kr.

Træk Victorias udgifter til mad (1900 kr.) fra hendes indkomst (8800 kr.).

Vi beregner, hvor mange penge Victoria har til andre ting end mad:

8800 - 1900 = 6900

Victoria har 6900 kr. til andre ting end mad.

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

8800 - 1900

21,6%

Du kan beregne, hvor stor en andel A udgør af B med formlen:

Vi beregner, hvor stor en andel af sin indkomst Victoria bruger på mad:

1900/8800 ≈ 0,2159091

Victoria bruger ca. 21,6% af sin indkomst efter skat på mad.

Regneudtrykket giver et decimaltal, som vi omregner til procent, da der står i opgaven, at vi skal angive svaret som en procentdel.

1056 kr.

Beregn 12% af Victorias indkomst efter skat (8800 kr.).

Vi beregner 12% af Victorias indkomst efter skat:

8800 · 0,12 = 1056

Victoria skulle bruge 1056 kr. om måneden på mad.

Vi får oplyst, at Victoria har en indkomst på 8800 kr. om måneden efter skat.

Vi beregner 12% af 8800 kr. ved at omregne 12% til decimaltal (0,12) og gange resultatet med 8800.

Da 1056 er 12% af 8800 kr., så skulle Victoria bruge 1056 kr. om måneden på mad, hvis hendes udgifter til mad skulle udgøre 12% af hendes indkomst efter skat.

15.833 kr.

Vi får oplyst, at 1900 kr. er 12% af et beløb. Du skal beregne beløbet (dvs. 100%).

Du kan starte med at beregne 1% af beløbet ved at dele 1900 kr. med 12.

Vi beregner, hvor stor Victorias indkomst skulle være:

1900/12 · 100 ≈ 15833,33

Victoria skulle have en indkomst efter skat på ca. 15.833 kr. om måneden.

Hvis 1900 kr. udgør 12% af et beløb, så kan vi bestemme 1% af beløbet ved at dele 1900 kr. med 12:

1900/12 ≈ 158,3333

Hvis 158,33 kr. udgør 1% af et beløb, så kan vi bestemme 100% af beløbet ved at gange 158,33 kr. med 100:

158,3333 · 100 ≈ 15833,33

100% af beløbet er 15833,33 kr.

Vi har opstillet ét regneudtryk i stedet for to, hvor vi både deler med 12 og ganger med 100:

1900/12 · 100

Brug formlen for arealet af en cirkel:

Vi aflæser, at den lille cirkel har en diameter på 30 cm, dvs. at radius er 15 cm.

Vi beregner arealet af cirklen:

π · 15² ≈ 706,8583

Arealet af den lille cirkel er ca. 700 cm².

Diameteren i en cirkel er dobbelt så stor som cirklens radius.

Vi beregner arealet af cirklen ved at indsætte r = 15 i formlen for arealet af en cirkel:

A = π · r²

2 små pizzaer

Beregn arealet af 1 stor cirkel og arealet af 2 små cirkler.

Vi aflæser, at den store cirkel har en diameter på 40 cm, dvs. at radius er 20 cm.

Vi beregner arealet af den store cirkel:

π · 20² ≈ 1256,637

Arealet af den store cirkel er 1257 cm².

Vi beregner arealet af to små cirkler:

2 · 706,8583 ≈ 1413,717

Arealet af to små cirkler er 1414 cm².

Victoria får mest pizza ved at købe 2 små pizzaer.

Vi benytter formlen for arealet af en cirkel til at beregne arealet af den store cirkel:

A = π · r²

I opg. 2.1 beregnede vi arealet af den lille cirkel (707 cm²). Vi beregner arealet af to små cirkler ved at gange resultatet med 2.

Da 1414 cm² er større end 1257 cm², så er arealet af to små cirkler større end arealet af en stor cirkel. Victoria får derfor mere pizza ved at købe 2 små pizzaer frem for 1 stor pizza.

42,4 cm

Den store pizza skal have samme areal som to små pizzaer.

Du kan bestemme cirklens radius r ud fra formlen for arealet af en cirkel:

Arealet af to små pizzaer er 1413,717 cm².

Vi bestemmer, hvilken radius r en cirkel skal have, for at arealet af cirklen er 1413,717 cm²:

Diameteren i en cirkel er dobbelt så stor som cirklens radius, så den store pizza bør have en diameter på 42,4 cm.

Når den store pizza skal koste dobbelt så meget som den lille pizza, så skal arealet af den store pizza også være dobbelt så stort som arealet af den lille pizza, dvs. at arealet af den store pizza skal være det samme som arealet af to små pizzaer. I opg. 2.2 beregnede vi arealet af to små pizzaer: 1413,717 cm².

Vi beregner først den store cirkels radius r. Vi bruger formlen for arealet af en cirkel til at beregne r, så arealet er 1413,717 cm².

π · r² = 1413,717

Vi deler med π på begge sider af lighedstegnet og får så:

r² ≈ 450,0001

Vi beregner r ved at beregne kvadratroden af 450:

r ≈ 21,21321

Den store pizza får et areal på 1413,717 cm², hvis pizzaens radius er 21,21 cm. Vi beregner cirklens diameter ved at gange cirklens radius med 2.

Begynd evt. med at opstille en tabel. Vi får oplyst, at 1 kcal svarer til ca. 4,2 kJ, så vi kan omregne fra kcal til kJ ved at gange med 4,2.

Opstil derefter en funktionsforskrift, og tegn en graf ved at tegne grafen for funktionen.

Tabel

Vi opstiller en tabel, der viser sammenhængen mellem kilokalorier og kilojoule:

Funktionsforskrift

Hvis x er antal kilokalorier, og f(x) er antal kilojoule, så er

f(x) = 4,2x

Graf

Vi tegner grafen for f(x) = 4,2x:

Vi får oplyst, at 1 kcal svarer til ca. 4,2 kJ, så vi kan omregne fra kcal til kJ ved at gange med 4,2. Omvendt kan vi omregne fra kJ til kcal ved at dele med 4,2.

Da vi skal gange kcal med 4,2 for at omregne til kJ, så svarer x kcal til 4,2x kJ. Vi får derved forskriften f(x) = 4,2x, hvor x er energi i kcal, og f(x) er energi i kJ.

Vi tegner en graf ved at tegne grafen for funktionen f. Du kan fx tegne grafen i GeoGebra™ ved at skrive funktionsforskriften i input-feltet.

4,5 L

(4 L er også et korrekt svar.)

Del timelønnen (27 øre) med prisen for en liter mælk (6 øre).

Vi beregner, hvor mange liter mælk en faglært arbejder kunne købe:

27/6 = 4,5

En faglært arbejder kunne købe 4,5 L mælk for en timeløn.

Vi får oplyst, at en faglært arbejder typisk tjente 27 øre i timen, og at 1 L mælk kostede 6 øre. Vi beregner, hvor meget mælk en arbejder kunne købe for en timeløn ved at dele timelønnen med literprisen for mælk.

Du kan fx tegne et punktplot i Excel.

Vi tegner et diagram:

Vi har tegnet et punktplot ved at markere tallene i kolonnerne "Årstal" og "Pris for 1 L mælk (kr.)" og vælge Indsæt → Punktplot:

Du kan beregne forholdet mellem timelønnen et givent år og prisen for 1 L mælk samme år med formlen:

Vi laver et diagram, der viser forholdet mellem timeløn og pris for 1 L mælk i perioden 1880 - 2004:

I perioden 1880 - 1940 ligger forholdet mellem timelønnen og prisen for 1 L mælk nogenlunde stabilt på omkring 5, dvs. at man kunne købe ca. 5 liter mælk for en timeløn. Fra 1940 til 2004 steg forholdet næsten lineær fra ca. 5 til ca. 24, så man i 2004 kunne købe ca. 24 liter mælk for en timeløn.

Vi tilføjer en kolonne til tabellen i bilaget. I den nye kolonne beregner vi forholdet mellem timelønnen og prisen for 1 L mælk:

Her kan du se formlerne:

Vi benytter oplysningerne i kolonne A (årstal) og kolonne D (forhold) til at tegne et punktplot, ligesom vi gjorde i opg. 4.2.

Aflæs vægten af hver bordgruppes madrester, og læg alle aflæsningerne sammen.

Vi beregner den samlede vægt af bordgruppernes madrester i uge 1:

1100 + 1100 + 1150 + 1050 + 1100 + 1150 + 1100 + 1050 = 8800

Bordgruppernes madrester vejede ca. 9 kg i alt i uge 1.

Vi aflæser vægten af hver bordgruppes madrester og lægger alle aflæsningerne sammen.

8800 g er 8,8 kg, hvilket er ca. 9 kg.

Ca. 1100 g

Del den samlede vægt af madresterne med antallet af borde (8).

Vi beregner gennemsnittet af vægten af bordgruppernes madrester:

8800/8 = 1100

Bordgruppernes madrester vejede i gennemsnit ca. 1100 g i uge 1.

I opg. 5.1 beregnede vi den samlede vægt af madresterne (8800 g). Der er 8 bordgrupper, så vi beregner gennemsnittet ved at dele 8800 g med 8.

Fx 1,5 kg, 1 kg, 1 kg, 1 kg, 1 kg, 1 kg og 1 kg.

Der findes mange korrekte løsninger, så vores facit er blot et eksempel på en korrekt løsning.

Beregn den samlede vægt af bordgruppernes madrester.

Vi får oplyst, at hver bordgruppe havde 1,0 kg madrester i gennemsnit. Da der er 8 bordgrupper, så må bordgrupperne tilsammen have haft 8,0 kg madrester.

Vi får oplyst, at én af bordgrupperne have 0,5 kg madrester, så de resterende 7 bordgrupper havde i alt 7,5 kg madrester.

Blandt de resterende 7 bordgrupper kan der fx have været én bordgruppe, der havde 1,5 kg madrester, og seks bordgrupper, der hver havde 1 kg madrester.

Hvis én bordgruppe havde 0,5 kg madrester, en anden bordgruppe havde 1,5 kg madrester og de resterende seks bordgrupper havde 1 kg madrester hver, så bliver den samlede vægt af madresterne 8 kg:

0,5 + 1,5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8

Aflæs hver bordgruppes madspil i uge 3 og sammenlign med resultaterne fra uge 1.

Du kan også beregne det samlede madspil i uge 3 og sammenligne resultatet med madspildet i uge 1.

Gruppe 1, 4 og 7 havde et lidt større madspil i uge 3 end i uge 1.

Gruppe 8 havde et lidt mindre madspild i uge 3 end i uge 1.

Gruppe 2, 3, 5 og 6 havde et væsentligt mindre madspild i uge 3 end i uge 1.

Vi beregner det samlede madspil i uge 3:

1300 + 550 + 500 + 1250 + 500 + 600 + 1300 + 850 = 6850

Det samlede madspil i uge 3 er ca. 2 kg mindre end i uge 1, så samlet set var eleverne bedre til at undgå madspil i uge 3 end i uge 1, men det er ikke alle bordgrupper, der er blevet bedre til at undgå madspil.

Vi aflæser hver bordgruppes madspil i uge 3 på diagrammet og sammenligner med madspildet i uge 1.

Derefter beregner vi det samlede madspild i uge 3 på samme måde, som vi beregnede det samlede madspild i uge 1 i opg. 5.1.

Hver figur består af et kvadrat i midten og fire "grene". Undersøg, hvordan antallet af kvadrater i hver "gren" udvikler sig.

Figur 4:

Vi aflæser, at hver figur har et kvadrat i midten og fire "grene":

Vi tegner en figur med et kvadrat i midten og fire "grene" med tre kvadrater i hver.

37 kvadrater

Hver figur består af et kvadrat i midten og fire "grene". Undersøg sammenhængen mellem figurnummeret og antal kvadrater i hver "gren".

Vi beregner antallet af kvadrater i figur 10:

1 + 4 · 9 = 37

Figur 10 består af 37 kvadrater.

Vi aflæser, at antallet af kvadrater i hver "gren" er 1 mindre end figurnummeret, så i figur n er der n - 1 kvadrater i hver "gren".

I figur 10 er der derfor 9 kvadrater i hver "gren". Figur 10 består derfor af et kvadrat i midten og fire "grene" med 9 kvadrater i hver. Antallet af kvadrater i figur 10 er dermed

1 + 4 · 9

1 + 4 · (n - 1)

(4n - 3 er også et korrekt svar.)

Der er n - 1 kvadrater i hver "gren" i figur n.

Antallet af kvadrater i figur n er

1 + 4 · (n - 1)

I opg. 6.3 kom vi frem til, at der er n - 1 kvadrater i hver "gren" i figur n. Figur n består derfor af et kvadrat i midten og fire "grene" med n - 1 kvadrater i hver gren. Antallet af kvadrater i figur n er dermed

1 + 4 · (n - 1)

Der er ikke en figur, der består af netop 100 kvadrater.

Undersøg, om antallet af kvadrater kan være lige.

Da den første figur består af ét kvadrat, og der lægges 4 kvadrater til i hver figur, så består alle figurerne af et ulige antal kvadrater. Der er derfor ikke en figur, der består af netop 100 kvadrater.

Vi tegner en figur ved at tilføje et kvadrat til hver "gren" på den forrige figur. Da figurerne har fire "grene", så består en figur af 4 kvadrater flere end den forrige figur.

I den første figur er der kun ét kvadrat. Når vi lægger et lige tal til et ulige tal, så bliver resultatet ulige. Antallet af kvadrat i en figur er derfor altid ulige. Da 100 er et lige tal, så findes der ikke en figur med 100 kvadrater.

21 og 36

Udfyld en figur med de to regneruter på samme måde som figuren i opgaven er udfyldt. Brug gerne bilaget.

Regneruterne vil ende med 21 og 36.

Den øverste regnerute udfyldes ved først at gange 4 med og derefter lægge til resultatet.

Den nederste regnerute udfyldes ved først at lægge til 4 og derefter gange resultatet med .

10

Regn regneruterne "baglæns". Start med 45 eller 60, og beregn det forrige tal.

Regneruterne skal begynde med tallet 10.

Vi starter med tallet 45. Vi skal bestemme et tal, som vi kan lægge 5 til for at få 45. Da 40 + 5 = 45, så skal der stå 40 i feltet til venstre for 45. Vi skal nu bestemme et tal, som vi kan gange med 4 for at få 40. Da 10 · 4 = 40, så skal der stå 10 i feltet længst til venstre.

Vi kunne også have startet med tallet 60. Da 15 · 4 = 60, så skal der stå 15 i feltet til venstre for 60. Da 10 + 5 = 15, så skal der stå 10 i feltet længst til venstre.

(a + 5) · 4 eller 4a + 20

Du kan udfylde en figur med de to regneruter på samme måde som i opg. 7.1. Start med tallet a.

Den nederste rute vil ende med udtrykket (a + 5) · 4.

Vi udfylder en figur, hvor det første tal er a:

Du behøver kun at udfylde den nederste regnerute, da det er resultatet af den nederste regnerute, der bliver spurgt til i opgaven.

Vi starter med tallet a. Vi lægger 5 til og får så a + 5. Vi ganger a + 5 med 4 og får (a + 5) · 4.

Bemærk: Det er vigtigt at huske parenteserne, da a + 5 · 4 ikke er det samme som (a + 5) · 4.

Udfyld regneruterne i den grønne ramme med tallet a som det første tal.

Vi udfylder regneruterne i den grønne ramme med tallet a som det første tal:

Vi beregner forskellen mellem de to udtryk, som regneruterne ender med:

(a + 6) · 3 - (a · 3 + 6) = 12

Forskellen mellem de to tal, som regneruterne ender med, er altid 12.

Vi udfylder regneruterne i den grønne ramme på samme måde, som vi udfyldte regneruterne i den blå ramme i opg. 7.3.

Den øverste regnerute ender med a · 3 + 6, og den nederste regnerute ender med (a + 6) · 3.

Vi beregner forskellen mellem de to tal, som regneruterne ender med, ved at trække a · 3 + 6 fra (a + 6) · 3. Du kan fx beregne forskellen mellem de to udtryk ved at skrive (a + 6) · 3 - (a · 3 + 6) i CAS-vinduet i GeoGebra™.

a) Én trekant

b) Ingen trekanter

c) Flere trekanter

d) Flere trekanter

e) Én trekant

Konstruér præcise tegninger af trekanterne. Du kan fx konstruere trekanterne i GeoGebra™.

a)

Man kan tegne netop én trekant med de viste mål:

b)

Man kan ikke tegne en trekant med de viste mål:

c)

Man kan tegne flere trekanter med de viste mål. Her er to eksempler:

d)

Man kan tegne to trekanter med de viste mål:

e)

Man kan tegne netop én trekant med de viste mål:

a)

Vi tegner et linjestykke med længden 5. Linjestykkets endepunkter er to af trekantens hjørnepunkter. Vi tegner også en cirkel med radius 3.

Vi tegner en halvlinje, der danner en vinkel på 100° med linjestykket. Skæringspunktet mellem halvlinjen og cirklen er det sidste af trekantens hjørnepunkter.

Der er kun én trekant med hjørnerne i de givne punkter, så vi kan tegne netop én trekant med de viste mål.

b)

Vi tegner et linjestykke med længden 8. Derefter tegner vi en cirkel med radius 4 og centrum i linjestykkets venstre endepunkt og en cirkel med radius 3 og centrum i linjestykkets højre endepunkt. Da de to cirkler ikke skærer hinanden, så kan vi ikke tegne en trekant med de viste mål.

c)

Vi tegner et linjestykke. Derefter afsætter vi en vinkel på 100° og en vinkel på 40°. Vi færdiggør trekanten.

Da vi ikke får oplyst længden af nogen af siderne, så kan vi forstørre eller formindske trekanten og stadig have en trekant, der har de viste mål. Vi kan derfor tegne flere trekanter med de viste mål.

d)

Vi tegner et linjestykke med længden 4. Derefter afsætter vi en halvlinje i linjestykkets venstre endepunkt, som danner en vinkel på 40° med linjestykket. Vi tegner også en cirkel med radius 3 og centrum i linjestykkets højre endepunkt.

Hvis vi tegner en trekant, hvor de to af hjørnepunkterne er i linjestykkets endepunkter, og det tredje hjørnepunkt er i et skæringspunkt mellem halvlinjen og cirklen, så har vi tegnet en trekant, der har de viste mål.

Da halvlinjen og cirklen har to skæringspunkter, så kan vi tegne to trekanter med de viste mål.

e)

Vi får oplyst, at trekanten har to vinkler på 60°. Da vinkelsummen i en trekant er 180°, så er den sidste vinkel også 60°:

60° + 60° + 60° = 180°

Da trekanten har tre vinkler på 60°, så er trekanten ligesidet. Da trekanten er ligesidet, så er alle siderne lige lange. Vi får oplyst, at den ene side har længden 4. Alle siderne har dermed længden 4.

Der er kun én ligesidet trekant med sidelængden 4, så vi kan tegne netop én trekant med de viste mål.