December 2020

173 år (i 2022)

Træk 1849 fra det nuværende årstal.

Vi beregner, hvor længe Folketinget har eksisteret:

2022 - 1849 = 173

Folketinget har eksisteret i 173 år.

Vi har løst opgaven i 2022, så vi har regnet ud, hvor længe Folketinget havde eksisteret i 2022.

70596

(70595 bliver også godtaget som korrekt svar.)

Bestem 2% af 3.529.759.

Vi bestemmer 2% af 3.529.759:

3529759 · 0,02 ≈ 70595,18

Et parti skulle have mindst 70596 stemmer i 2019 for at komme i Folketinget.

Vi får oplyst, at et parti skal have mindst 2% af stemmerne, og at der i 2019 blev afgivet 3.529.759 gyldige stemmer. Da 2% = 0,02, så bestemmer vi 2% af 3.529.759 ved at gange 3.529.759 med 0,02.

Et parti kan kun få et helt antal stemmer. Vi afrunder derfor resultatet. Da partiet skal have mindst 70595,18 stemmer, så runder vi op til 70596.

60

Beregn det samlede folketal, vælgertal og areal for hele Danmark ved at lægge tallene for landsdelene sammen.

Vi beregner det samlede folketal, vælgertal og areal for hele Danmark:

Folketal:

1.840.357 + 2.061.236 + 1.912.868 = 5.814.461

Vælgertal:

1.275.532 + 1.531.340 + 1.412.665 = 4.219.537

Areal: 

2.559 + 19.486 + 20.892 = 42.937

Vi beregner, hvor stor en del af medlemmerne der skulle vælges fra landsdelen Midtjylland-Nordjylland:

(1912686 + 1415665 + 20 · 20892)/(5814461 + 4219537 + 20 · 42937) ≈ 0,34392

34,4% af medlemmerne skulle vælges fra Midtjylland-Nordjylland. Vi bestemmer, hvor mange medlemmer det svarer til:

175 · 0,34392 = 60,186

Der skulle vælges 60 medlemmer fra landsdelen Midtjylland-Nordjylland.

Vi beregner først det samlede folketal, vælgertal og areal for hele Danmark ved at lægge tallene for landsdelene sammen.

Derefter bruger vi udtrykket i den blå boks til at beregne, hvor stor en andel af medlemmerne af Folketinget, der skulle vælges fra landsdelen Midtjylland-Nordjylland. Vi får, at ca. 34,4% skulle vælges fra Midtjylland-Nordjylland.

Vi får oplyst, at der skal vælges 175 medlemmer til Folketinget fra forskellige dele af Danmark. Vi beregner derfor 34,4% af 175 for at få antallet af medlemmer, der skulle vælges fra landsdelen Midtjylland-Nordjylland.

70:179

(Ca. 1:2,6 godtages også som korrekt facit.)

Forholdet er

antal kvinder : antal medlemmer

Forholdet var 70:179.

Vi får oplyst, at der var 70 kvinder blandt Folketingets 179 medlemmer.

Forholdet mellem antal kvinder og antal medlemmer er derfor 70:179.

Finland

Beregn forholdet mellem antal kvinder og mænd i de nordiske parlamenter:

Vi beregner forholdet mellem antal kvinder og mænd i de nordiske parlamenter:

Vi kan se, at forholdet mellem antal kvinder og antal mænd er tættest på 1:1 i Finland.

Vi beregner forholdet mellem antal kvinder og antal mænd i de nordiske parlamenter ved at dele antallet af kvinder i et parlament med antallet af mænd i samme parlament. Fx er forholdet mellem antal kvinder og antal mænd i Folketinget ca. 0,64:1.

Forholdet mellem antal kvinder og antal mænd er tættest på 1:1 i Finland, hvor forholdet er ca. 0,87:1.

Lav et punktplot, der viser udviklingen i antallet af kvinder i Folketinget, og tilføj en tendenslinje.

Vi laver en graf, der viser udviklingen i antal kvinder i Folketinget:

Vi kan se på tendenslinjen, at hvis udviklingen fortsætter, så vil der være ca. 82 kvinder i Folketinget i 2030. Halvdelen af 179 er ca. 90, så det ser ikke ud til, at der vil være cirka lige mange mænd og kvinder i Folketinget i 2030, hvis udviklingen fortsætter.

Vi har lavet punktplottet i Excel. Vi har fået tendenslinjen til at fortsætte til 2030 ved at tilføje "2030" til kolonnen med årstal i Excel-filen. Feltet til højre for 2030 i kolonnen "Antal kvinder" har vi ladet være tomt.

Den stiplede linje er tendenslinjen. Vi aflæser på tendenslinjen, at der vil være ca. 82 kvinder i Folketinget i 2030.

Lav de udregninger, der skal til, for at tjekke tallene i teksten. Ret de tal og konklusioner, der ikke er rigtige.

Vi har markeret rettelserne:

I runde tal var der 37.000 elever, som begyndte i 10. klasse i 2018. Det er 
over halvdelen af det antal elever, der afsluttede 9. klasse i 2018. 10. klasse er cirka lige populært blandt drenge og piger. Cirka 26% af de piger og 27% af de drenge, der begyndte i 10. klasse, valgte 10. klasse i en folkeskole. Det vil sige, at i alt 26% af eleverne valgte 10. klasse i en folkeskole.

Beregninger:

Antal elever, der begyndte i 10. klasse i 2018:

17.928 + 18.917 = 36.845

Andel elever, der afsluttede 9. klasse i 2018, som startede i 10. klasse i 2018:

36.845/(32.374 + 34.212) ≈ 0,55

Andel piger, der startede i 10. klasse:

17.928/32.374 ≈ 0,5537777

Andel drenge, der startede i 10. klasse:

18.917/34.212 ≈ 0,5529346

Andel piger, der startede i 10. klasse, som valgte 10. klasse i en folkeskole:

4.583/17.928 ≈ 0,2556336

Andel drenge, der startede i 10. klasse, som valgte 10. klasse i en folkeskole:

5.180/18.917 ≈ 0,2738278

Andel elever, der startede i 10. klasse, som valgte 10. klasse i en folkeskole:

(4.583 + 5.180)/(17.928 + 18.917) ≈ 0,2649749

Vi beregner, at der var 36.845 elever, der begyndte i 10. klasse. Vi ændrer derfor ca. 35.000 til ca. 37.000.

Vi beregner, at blandt de elever, der afsluttede 9. klasse, var der 55% der startede i 10. klasse. Vi retter derfor "under halvdelen" til "over halvdelen".

Vi beregner, at ca. 55,4% af pigerne og ca. 55,3% af drengene, der afsluttede 9. klasse, startede i 10. klasse. Det vil sige, at andelen af drenge og piger, der valgte 10. klasse, er cirka den samme. Vi retter derfor sætningen om, at 10. klasse er mere populært blandt drenge end piger til "10. klasse er cirka lige populært blandt drenge og piger".

Vi beregner, at ca. 26% af pigerne, der startede i 10. klasse, valgte en 10. klasse i en folkeskole, mens ca. 27% af drengene valgte en 10. klasse i en folkeskole. Vi retter derfor 28% til 27%.

Vi beregner, at ca. 26% af de elever, der startede i 10. klasse, valgte en 10. klasse i en folkeskole. Vi retter derfor 54% til 26%.

64,8 m²

Gang arealkravet pr. elev med antallet af elever.

Vi beregner, hvor stort klasselokalet skal være:

2,7 · 24 = 64,8

Klasselokalet skal være mindst 64,8 m² stort.

Vi får oplyst, at Danske Skoleelever anbefaler, at der skal være 2,7 m² pr. elev. Vi beregner, hvor stort et lokale til 24 elever skal være, ved at gange 2,7 med 24.

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

2,7 · 24

2,7 · n m²

Brug samme fremgangsmåde som i opg. 4.1.

Arealet skal være 2,7 · n m².

Vi opstiller et udtryk for, hvor stort et klasselokale skal være, hvis der skal være plads til n elever, ved at gange arealkravet pr. elev (2,7 m²) med antallet af elever (n).

Forslaget overholder kravene.

Aflæs højden.

Beregn rumfanget af klasselokalet og derefter rumfanget pr. person.

Vi kan se på tegningerne, at klasselokalerne er 2,5 m høje.

Vi beregner rumfanget af et klasselokale:

8 · 9 · 2,5 = 180

Rumfanget af et klasselokale er 180 m³.

Vi beregner rumfanget pr. person, hvis der skal være 28 elever og 2 lærere i klasselokalet (dvs. 30 personer):

180/30 = 6

Klasselokalet har et rumfang på 6 m³ pr. person.

Da byggefirmaets forslag til klasselokaler er 2,5 m høje, og der er et rumfang på 6 m³ pr. person, så overholder byggefirmaets forslag både kravene til loftshøjde og rumfang.

Vi aflæser på tegningerne, at klasselokalet har form som en kasse med en længde på 9 m, en bredde på 8 m og en højde på 2,5 m.

Rumfanget V af en kasse med længde l, bredde b og højde h kan beregnes med formlen:

V = l · b · h

Vi indsætter klasselokalets mål og beregner, at rumfanget af klasselokalet er 180 m³.

Vi beregner rumfanget pr. person ved at dele rumfanget med antal personer (28 elever og 2 lærere, dvs. 30 personer).

Vi konkluderer, at byggefirmaets forslag overholder kravene, da lokalet er 2,5 m højt, og rumfanget er 6 m³ pr. person.

Du kan fx tegne en grundplan med form som en trekant, et parallelogram eller et trapez. Husk at skrive mål på skitsen!

Du kan fx tegne figuren i et dynamisk geometriprogram.

Grundplan:

Vi beregner arealet:

10 · 8 = 80

Arealet af klasselokalet er 80 m².

Vi tegner en grundplan, der har form som et parallelogram.

Arealet af et parallelogram med højden h og grundlinjen a kan beregnes med formlen:

A = h · a

Vi beregner arealet af grundplanen for at vise, at grundplanen har et areal på 80 m².

Du kan beregne andelen med formlen

Vi beregner, hvor stor en andel, der svarede 'ja':

384/800 = 0,48

48% af deltagerne i meningsmålingen svarede 'ja'.

Vi får oplyst, at 384 ud af 800 deltagere svarede 'ja'. Vi beregner andelen ved at dele 384 med 800.

Du kan fx lave et cirkeldiagram.

Vi har lavet et cirkeldiagram. Du kan også vælge en anden form for diagram, fx et søjlediagram.

Vi har lavet cirkeldiagrammet i Excel.

Gentag simuleringen.

Vi har lavet en række simuleringer. Her er resultatet af én af simuleringerne:

Simuleringen viser, at antallet af personer, der svarer 'ja', godt kan være 384 eller færre.

Vi har gentaget simuleringen, indtil vi fik et resultat, hvor der var færre end 384, der svarede 'ja'.

Hvis du har lavet mindst 10 simuleringer, og ingen af dem viste 384 eller færre, der svarede 'ja', så kan du få point for dit svar, selv om du svarer, at det ikke kan ske.

Foretag mindst 5 simuleringer og notér, hvor stor en andel, der svarer 'ja', i hver simulering.

Vi har lavet 25 simuleringer, og andelen af personer, der svarer 'ja', var mellem 47,3% og 52,5%. Man kan derfor forvente, at mellem 47,3% og 52,5% af deltagerne vil svare 'ja'.

Du skal lave mindst 5 simuleringer. Du kan evt. vælge at sætte resultaterne af simuleringerne ind i din besvarelse.

Fra 2014 til 2015 og fra 2017 til 2018.

Undersøg, hvilke år middellevetiden ikke er højere end året før.

Fra 2014 til 2015 er middellevetiden faldet.

Middellevetiden i 2017 og 2018 er den samme, så fra 2017 til 2018 er middellevetiden ikke steget.

Vi aflæser, at middellevetiden faldt fra 80,6 år i 2014 til 80,5 år i 2015.

Vi aflæser, at middellevetiden var 80,9 år i både 2017 og 2018.

0,24 år

Beregn gennemsnittet med formlen

Vi beregner, hvor mange år middellevetiden er steget fra 2000 til 2018:

80,9 - 76,6 = 4,3

Vi beregner, hvor meget middellevetiden i gennemsnit er steget pr. år:

4,3/18 ≈ 0,2388889

Danskernes middellevetid er i gennemsnit steget med 0,24 år pr. år.

Vi aflæser i Excel-filen, at middellevetiden var 76,6 år i 2000 og 80,9 år i 2018.

Vi beregner først, hvor meget middellevetiden er steget i alt i perioden. Derefter beregner vi, hvor meget middellevetiden er steget i gennemsnit pr. år ved at dele stigningen i middellevetid med antallet af år.

Du kan fx tegne grafen for f sammen med et punktplot, der viser datasættet.

Du kan også vælge at beregne middellevetiden hvert år fra 2000 til 2018 med modellen og sammenligne resultatet med dataene.

Vi tegner grafen for f sammen med et punktplot, der viser datasættet:

Vi kan se, at punkterne tilnærmelsesvist ligger på linjen (som repræsenterer modellen), så modellen passer rimelig godt.

Punkterne i koordinatsystemet repræsenterer datasættet med middellevetiden. Den rette linje repræsenterer modellen. Da punkterne tilnærmelsesvist ligger på linjen, så passer dataene tilnærmelsesvist med modellen, dvs. at modellen med god tilnærmelse beskriver udviklingen i middellevetiden.

Middellevetiden stiger lidt mere end pensionsalderen gør.

Ifølge modellen stiger middellevetiden med 0,2647 år pr. år. Beregn, hvor meget middellevetiden stiger på 5 år. Sammenlign med stigningen i pensionsalderen på 5 år.

Ifølge modellen stiger middellevetiden med 0,2647 år pr. år. Vi beregner, hvor meget middellevetiden stiger på 5 år:

5 · 0,2647 = 1,3235

Middellevetiden stiger med ca. 1,3 år på 5 år. Pensionsalderen stiger med 1 år på 5 år, så middellevetiden stiger lidt mere end pensionsalderen gør.

f er en lineær funktion. Hældningen er 0,2647, hvilket betyder, at middellevetiden stiger med 0,2647 år pr. år. Vi beregner, hvor mange år middellevetiden stiger med på 5 år ved at gange stigningen pr. år (0,2647 år) med 5.

Vi får oplyst, at nogle politikere menere, at pensionsalderen skal stige med 1 år hvert 5. år. Da middellevetiden stiger med ca. 1,3 år på 5 år, og pensionsalderen stiger med 1 år på 5 år, så stiger middellevetiden lidt mere end pensionsalderen.

5 · 6 - 4 · 7

Undersøg, hvor meget hvert af tallene ændres fra den ene række til den næste.

Vi kan se, at hvert af tallene i regneudtrykkene vokser med 1 for hver ny række:

Række	Regneudtryk
1
2
3
4
5

Det første tal i hvert regneudtryk er rækkenummeret. Undersøg, hvordan de andre tal kan beskrives ud fra rækkenummeret.

Regneudtrykkene består af to led.

Det første led består af rækkenummeret ganget med det tal, der er 1 større end rækkenummeret. I række n er det første led derfor n · (n + 1).

Det andet led består af det tal, der er 1 mindre end rækkenummeret, ganget med det tal, der er 2 større end rækkenummeret. I række n er det andet led derfor (n - 1) · (n + 2).

De to led skal trækkes fra hinanden, så regneudtrykket i række n skal være n · (n + 1) - (n - 1) · (n + 2).

Hvert regneudtryk består af to led med minus imellem.

Det første led består af to tal. Vi kan se, at det første tal er rækkenummeret, dvs. at det første tal i række n er n. Det andet tal er 1 større end rækkenummeret, dvs. at det andet tal i række n er n + 1. De to tal skal ganges sammen, så det første led består af n · (n + 1).

Det andet led består også af to tal. Vi kan se, at det første tal er 1 mindre end rækkenummeret, dvs. at det første tal er n - 1. Det andet tal er 2 større end rækkenummeret, dvs. at det andet tal er n + 2. De to tal skal ganges sammen, så det andet led består af (n - 1) · (n + 2).

I hvert regneudtryk er det andet led trukket fra det første led, så i række n er regneudtrykket n · (n + 1) - (n - 1) · (n + 2).

Gang n ind i den første parentes.

Gang derefter de to andre parenteser sammen.

Vi opskriver udtrykket:

n · (n + 1) - (n - 1) · (n + 2)

Vi ganger n ind i den første parentes:

n² + n - (n - 1) · (n + 2)

Vi ganger de to andre parenteser sammen:

n² + n - (n² + 2n - n - 2)

Vi ophæver minus-parentesen:

n² + n - n² - 2n + n + 2

Vi omskriver udtrykket:

n² - n² - 2n + 2n + 2

Da n² - n² = 0 og -2n + 2n = 0, så får vi:

2

Vi opskriver udtrykket:

Vi ganger n ind i den første parentes ved at gange hvert led i parentesen med n:

Vi får altså:

Vi ganger de to andre parenteser sammen ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden parentes:

Vi får altså:

Vi ophæver minus-parentesen ved at ændre fortegnet for alle led i parentesen:

Vi omskriver udtrykket ved at lægge n og n sammen til 2n:

n² - n² - 2n + 2n + 2

Da n² - n² = 0 og -2n + 2n = 0, så får vi:

2

Trekanten er ligebenet. Brug den information til at bestemme vinkel B. Brug vinkelsummen i en trekant til at beregne vinkel C.

Du kan fx bruge sinus eller cosinus til at bestemme længden af de korte sider i trekanten.

Vinklerne i trekanten

Da den blå trekant er ligebenet, så er vinkel B også 45°.

Vinkelsummen i en trekant er 180°. Vi beregner vinkel C:

180° - 45° - 45° = 90°

Vinkel C er 90°, dvs. at trekanten er retvinklet.

Længden af kateterne i trekanten

Vi bestemmer længden af kateterne i trekanten:

10 ⋅ cos(45) = 5 ⋅√2

Omkreds

Omkredsen af trekanten: 

10 + 2 · 5 · √2 ≈ 24,14214

Omkredsen af halvcirklen:

(10 ⋅ π)/2 + 10 ≈ 25,70796

Omkredsen af et cirkeludsnit:

(10 ⋅ π)/4 + 5 · √2 ≈ 14,92505

Areal

Arealet af trekanten:

1/2 · 10 · 5 = 25

Arealet af halvcirklen:

(5² ⋅ π)/2 ≈ 39,26991

Arealet af et cirkeludsnit:

(39,26991 - 25)/2 ≈ 7,134955

Vinklerne i trekanten

I en ligebenet trekant er to af vinklerne lige store. Vinkel A og B i trekanten er lige store, så vinkel B er også 45°.

Længden af kateterne i trekanten

I en retvinklet trekant er

Vi indsætter vinklen på 45° og længden af hypotenusen (10):

Vi ganger med 10 på begge sider af lighedstegnet og får længden af kateterne.

Omkreds

Vi beregner omkredsen af trekanten ved at lægge længden af hypotenusen (10) sammen med 2 gange længden af kateterne (5 · √2):

10 + 2 · 5 · √2

Omkredsen af en cirkel beregnes ved at gange diameteren med π.

Omkredsen af halvcirklen er halvdelen af cirklens omkreds lagt sammen med diameteren (10). Omkredsen af cirklen er 10 ⋅ π, så halvdelen af cirklens omkreds er (10 ⋅ π)/2. Omkredsen af halvcirklen er derfor

(10 ⋅ π)/2 + 10

Omkredsen af et cirkeludsnit er en fjerdedel af cirklens omkreds lagt sammen med længden af en af trekantens kateter (5 · √2). Omkredsen af cirklen er 10 ⋅ π, så en fjerdedel af cirklens omkreds er (10 ⋅ π)/4. Omkredsen af et cirkeludsnit er derfor

(10 ⋅ π)/4 + 5 · √2

Areal

Diameteren i cirklen er en grundlinje i trekanten. Den tilhørende højde går fra cirklens centrum til cirkelperiferien, dvs. at højden har samme længde som cirklens radius (5). Vi beregner arealet af en trekant ud fra grundlinjen (g) og højden (h):

Arealet af en cirkel beregnes ud fra cirklens radius r:

Vi beregner arealet af halvcirklen ved at dele arealet af cirklen med 2.

De to cirkeludsnit og trekanten har samme areal som halvcirklen. Vi kan derfor bestemme arealet af de to cirkeludsnit ved at trække arealet af trekanten fra arealet af halvcirklen:

39,26991 - 25

Vi bestemmer arealet af hvert cirkeludsnit ved at dele arealet af de to cirkeludsnit med 2:

(39,26991 - 25)/2