Maj 2021

Her er vores besvarelse til Matematik FP10 fra 4. maj 2021.

Besvarelsen indeholder opgavernes facit og vores løsninger. Besvarelsen indeholder også hints, som du kan bruge, hvis du er i tvivl om, hvordan du kan komme i gang med en opgave.

Bemærk: Besvarelsen indeholder ikke selve opgaverne.

Indhold

Opgave 1 - Pris for vandforbrug
Opgave 2 - Ude at ro
Opgave 3 - Regnvandsbeholdere
Opgave 4 - Årlig nedbør i København
Opgave 5 - Sandsynlighed for regnvejr
Opgave 6 - Trekanter
Opgave 7 - Regneudtryk, kvadrater og rektangler
Opgave 8 - Sum og produkt af to tal

Opgave 1 - Pris for vandforbrug

1.1

Du skal vise med beregning, at de betalte 1150 kr. i årligt abonnement.

Hint

Træk familiens betaling for deres vandforbrug (8481,20 kr.) fra familiens samlede betaling for abonnement og vandforbrug (9631,20 kr.)

Løsning

Vi bestemmer det årlige abonnement:

9631,20 - 8481,20 = 1150

Familien betalte 1150 kr. i årligt abonnement.

Kommentarer til løsningen

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

9631,20 - 8481,20

1.2

Hvor stor en procentdel udgjorde abonnementet af den samlede pris?

Facit

Ca. 11,9%

Hint

Du kan beregne, hvor stor en andel A udgør af B med formlen:

$\frac{A}{B}$

Løsning

Vi beregner, hvor stor en procentdel abonnementet udgjorde af den samlede pris:

1150/9631,20 ≈ 0,1194036

Abonnementet udgjorde ca. 11,9% af den samlede pris.

Kommentarer til løsningen

Regneudtrykket giver et decimaltal, som vi omregner til procent, da der står i opgaven, at vi skal angive svaret som en procentdel.

1.3

Hvor mange kubikmeter vand brugte Valdemars familie i 2020?

Facit

182 kubikmeter

Hint

Del familiens betaling for deres vandforbrug (8481,20 kr.) med prisen pr. kubikmeter for vand (46,60 kr.)

Løsning

Vi beregner, hvor mange kubikmeter vand familien brugte:

8481,20/46,60 = 182

Valdemars familie brugte 182 kubikmeter vand i 2020.

Kommentarer til løsningen

Husk at angive enheden, når du skriver dit facit. Du kan skrive "kubikmeter" eller "m³".

1.4

Hvor mange penge skal Valdemars familie i alt betale til deres vandselskab i 2021, hvis de bruger x kubikmeter vand?

Facit

46,60 · x + 1150

Hint

Husk, at familien både skal betale for deres vandforbrug (46,60 kr. pr. kubikmeter) og for abonnement (1150 kr.).

Løsning

Hvis Valdemars familie skal betale 46,60 kr. pr. kubikmeter vand, og de bruger x kubikmeter vand, så er prisen (i kr.) for vandforbruget:

46,60 · x

Familien skal også betale 1150 kr. i abonnement. Den samlede pris (i kr.) er derfor:

46,60 · x + 1150

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at prisen for vand er den samme i 2021 som i 2020, dvs. at familien skal betale 46,60 kr. pr. kubikmeter. Familien skal derfor fx betale 46,60 kr. for én kubikmeter vand, 2 · 46,60 kr. for 2 kubikmeter vand, 3 · 46,60 kr. for 3 kubikmeter vand og derfor x · 46,60 kr. for x kubikmeter vand.

Vi lægger 1150 til x · 46,60, da familien også skal betale for abonnement (1150 kr.).

1.5

Giv et overslag over, hvor meget vand familien kan spare om året, hvis de udskifter toilettet.

Hint

Når du laver dit overslag, så skal du huske at tage højde for:

hvor mange skyl hver person laver pr. dag
hvor mange dage familien bruger toilettet på et år
at der er 4 personer i familien

Løsning

Vi antager, at hver person i gennemsnit bruger toilettet 4 gange om dagen, og at de vil bruge 1 skyld på 4 L og 3 skyl på 2 L, hvis de udskifter toilettet.

Vi beregner, hvor meget vand hver person bruger pr. dag, hvis de beholder deres nuværende toilet:

4 · 9 L = 36 L

Vi beregner derefter, hvor meget vand hver person vil bruge pr. dag, hvis de udskifter toilettet:

1 · 4 L + 3 · 2 L = 10 L

Vi beregner, hvor meget vand hver person sparer pr. dag:

36 L - 10 L = 26 L

Vi kan nu beregne, hvor meget vand hele familien kan spare om året:

4 · 26 · 365 = 37960

Familien kan spare ca. 37960 L (dvs. ca. 38 m³) vand om året, hvis de udskifter toilettet.

Kommentarer til løsningen

Vores løsning er blot et eksempel på en løsning. Facit kan variere, afhængig af hvilke antagelser vi laver (fx antallet af skyl pr. dag).

Vi beregner først, hvor meget vand hvert familiemedlem bruger pr. dag med det nuværende toilet, og hvor meget vand hvert familiemedlem vil bruge pr. dag, hvis familien udskifter toilettet. Dermed kan vi beregne, hvor meget vand hver person sparer pr. dag (26 L).

Familien består af 4 medlemmer, og vi antager, at de bruger toilettet hver dag (365 dage pr. år). Mængden af vand, som familien kan spare, er derfor 4 · 26 L · 365.

Opgave 2 - Ude at ro

2.1

Cirka hvor stor er afstanden fra deres position til ishuset, hvis vinkel v er 45°?

Facit

Ca. 1,12 km

Hint

Hvis v = 45°, så er der ca. 1,4 gange så langt fra Sille og Annas position til ishuset som fra deres position til fyrtårnet. Vi får oplyst, at Silles og Annas afstand til fyrtårnet er 0,8 km.

Løsning

Vi får oplyst, at Sille og Anna har roet 0,8 km, og at hvis v = 45°, så er der ca. 1,4 gange så langt fra deres position til ishuset som fra deres position til fyrtårnet. Vi beregner deres afstand til ishuset:

1,4 · 0,8 ≈ 1,12

Afstanden fra deres position til ishuset er ca. 1,12 km.

Kommentarer til løsningen

Sille og Anna har roet 0,8 km, dvs. at afstanden fra deres position til fyrtårnet er 0,8 km. Afstanden fra deres position til ishuset er ca. 1,4 gange så stor, dvs. at afstanden er ca. 1,4 · 0,8.

2.2

Forklar, hvorfor Sille ikke har ret i sin påstand, selv om det er rigtigt, at tan(60°) ≈ 1,73.

Hint

I en retvinklet trekant, hvor v ikke er den rette vinkel, er

$\tan(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hosliggende katete}}$

Løsning

Sille benytter, at

$\tan(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hosliggende katete}}$

Sille har ikke ret i sin påstand, fordi forholdet mellem afstanden til fyrtårnet og afstanden til ishuset skal beregnes med cosinus og ikke tangens, da

$\cos(v) = \frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenuse}}$

Kommentarer til løsningen

Vi kan se på tegningen, at ishuset, fyrtårnet og Annas og Silles placering danner en retvinklet trekant.

Vinkel v ligger mellem en af kateterne og hypotenusen. Vinkel v kan derfor beregnes med formlen:

$\cos(v) = \frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenuse}}$

Formlen for tan(v) er

$\tan(v) = \frac{\text{modst\aa ende katete}}{\text{hosliggende katete}}$

Når Sille beregner tan(60°), så får hun derfor forholdet mellem afstanden fra ishuset til fyrtårnet og afstanden fra deres position til fyrtårnet.

2.3

Hvor stor kan afstanden højst være mellem deres position og ishuset, hvis Anna har ret?

Facit

1,51 km

Hint

Vinkel v kan være mellem 48° og 58°. Afstanden til ishuset er størst, når v = 58°.

Benyt formlen:

$\cos(v) = \frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenuse}}$

Løsning

Hvis Anna har ret, så kan vinkel v være op til 58°.

Hvis v = 58°, så er forholdet mellem afstanden til fyrtårnet og afstanden til ishuset cos(58°):

$\cos(58\degree ) = \frac{\text{Afstand til fyrt\aa rnet}}{\text{Afstand til ishuset}}$

Afstanden til ishuset er 0,8 km. Vi beregner afstanden til ishuset:

$\frac{0,8}{\cos(58\degree)} \approx 1,509664$

Afstanden mellem deres position og ishuset kan højst være 1,51 km.

Kommentarer til løsningen

Hvis Anna har ret, så kan vinkel v være mellem 48° og 58°. Jo større vinklen er, jo større er afstanden fra deres position til ishuset, så vi beregner afstanden, når vinklen er 58°.

Vi kom frem til i opg. 2.2, at

$\cos(v) = \frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenuse}}$

Længden af den hosliggende katete er afstanden fra deres position til fyrtårnet. Længden af hypotenusen er afstanden fra deres position til ishuset, så

$\cos(58\degree ) = \frac{\text{Afstand til fyrt\aa rnet}}{\text{Afstand til ishuset}}$

Afstanden fra deres position til fyrtårnet er 0,8 km:

$\cos(58\degree ) = \frac{0,8}{\text{Afstand til ishuset}}$

Vi ganger med afstanden til ishuset og får, at

$\text{Afstand til ishuset} \cdot \cos(58 \degree) = 0,8$

Vi deler med cos(58°) og får, at

$\begin{align*} \text{Afstand til ishuset} &= \frac{0,8}{\cos(58 \degree)} \\[1em] &\approx 1,509664 \end{align}$

Opgave 3 - Regnvandsbeholdere

3.1

Giv et forslag til, hvilke mål hver af de tre regnvandsbeholdere kan have.

Hint

Du kan fx prøve dig frem ved at vælge alle målene pånær ét og så justere på det sidste mål, indtil rumfanget er 1 m³.

Du kan også indsætte de mål, du har valgt, i formlen for rumfanget og isolere det sidste mål.

Løsning

Kasseformet regnvandsbeholder

Længde, l	1 m
Bredde, b	1 m
Højde, h	1 m
Rumfang, V = l · b · h	1 m³

Cylinderformet regnvandsbeholder

Radius, r	0,564 m
Højde, h	1 m
Rumfang, V = h · π · r²	1 m³

Keglestubformet regnvandsbeholder

V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \pi \cdot \left (R^2 + r^2 + R \cdot r \right )

Kommentarer til løsningen

Vi vælger alle beholderens mål pånær ét. Fx vælger vi for den cylinderformede regnvandsbeholder, at den skal være 1 m høj.

Vi indsætter de mål, vi har valgt, samt rumfanget på 1 m³ i formlen for rumfanget og isolerer det sidste mål:

1 = 1 · π · r² → r ≈ 0,564

Du kan fx isolere den ukendte størrelse i GeoGebra™. Løs ovenstående ligning ved at skrive "Løsninger(1=1*pi*r^2)" i CAS-vinduet og klikke på "≈".

Opgave 4 - Årlig nedbør i København

4.1

Hvor stor er den største mængde nedbør, der er faldet på et år i København i perioden?

Facit

870 mm

(Svar mellem 860 mm og 880 mm er også korrekte.)

Hint

Mængden af nedbør aflæses på y-aksen. Find det punkt i diagrammet, der er længst oppe ad y-aksen.

Løsning

Vi aflæser i diagrammet: Den største mængde nedbør er ca. 870 mm.

Kommentarer til løsningen

Vi aflæser i diagrammet, at punktet, der repræsenterer mængden af nedbør i år 1961, er længst oppe ad y-aksen. Punktet repræsenterer derfor den største mængde af nedbør. Punktets y-koordinat er ca. 870, så den største mængde nedbør er ca. 870 mm.

4.2

Forklar, hvordan du kan vide, at nedbørsmængden er steget med ca. 20 % siden år 1829 ifølge modellen.

Hint

Den røde linje er grafen for modellen. Aflæs nedbørsmængden i 1829 og i 2019, ifølge modellen, på den røde linje.

Løsning

Vi aflæser i diagrammet, at ifølge modellen var nedbørsmængden ca. 445 mm i 1829 og ca. 655 mm i 2019:

$\frac{655}{545} \approx 1,201835$

Nedbørsmængden steg med ca. 20% fra 1829 til 2019, ifølge modellen.

Kommentarer til løsningen

Den røde linje er grafen for modellen. Vi aflæser i diagrammet, at den røde linjes endepunkter har koordinaterne (1829,545) og (2019,655), dvs. at ifølge modellen var nedbørsmængden ca. 545 mm i 1829 og ca. 655 mm i 2019.

Vi kan beregne, hvor stor en andel A udgør af B med formlen:

$\frac{A}{B}$

Vi beregner, at

$\frac{655}{545} \approx 1,201835$

655 udgør ca. 120% af 545, dvs. at nedbørsmængden er steget med ca. 20%.

4.3

Hvor meget vil nedbørsmængden stige i løbet af de næste 100 år, hvis udviklingen fortsætter på den måde, som den røde linje viser?

Facit

60 mm

Hint

Undersøg, hvor meget nedbørsmængden er steget på 100 år, fx fra 1900 til 2000.

Løsning

Vi aflæser i diagrammet, at ifølge modellen var nedbørsmængden ca. 590 mm i 1900 og ca. 650 mm i 2000.

Vi beregner, hvor meget nedbørsmængden steg fra 1900 til 2000:

650 - 590 = 60

Nedbørsmængden steg med 60 mm på de 100 år fra 1900 til 2000, dvs. at nedbørsmængden også vil stige med 60 mm i løbet af de næste 100 år, hvis udviklingen fortsætter.

Kommentarer til løsningen

Den røde linje er grafen for modellen. Da grafen er en ret linje, så stiger nedbørsmængden lige meget hvert år, ifølge modellen. At nedbørsmængden er steget med 60 mm på 100 år betyder derfor, at den også vil stige med 60 mm på 100 år fremover, ifølge modellen.

Opgave 5 - Sandsynlighed for regnvejr

5.1

Du skal vise med beregning, at der er en statistisk sandsynlighed på 43 % for, at det er regnvejr på Silles fødselsdag ifølge oplysningerne på DMI’s hjemmeside.

Hint

Beregn, hvor stor en andel af årene, det har regnet, når det har regnet i 13 år ud af 30 år.

Løsning

Vi får oplyst, at det har regnet i 13 år ud af de seneste 30 år:

$\frac{13}{30} \approx 0,4333333 \approx 43 \%$

Der er 43% sandsynlighed for, at det er regnvejr på Silles fødselsdag.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at det har regnet i 13 år ud af 30 år, hvilket svarer til 43% af årene. Sandsynligheden for, at det er regnvejr på Silles fødselsdag et givent år, er derfor 43%.

5.2

Hvor stor er sandsynligheden for, at det er regnvejr på Silles fødselsdag i både 2021 og 2022, hvis Sille har ret i sin antagelse?

Facit

18,5%

Hint

Benyt, at

P(regnvejr i 2021 og 2022) = P(regnvejr i 2021) · P(regnvejr i 2022)

Løsning

Vi beregner sandsynligheden for, at det er regnvejr i både 2021 og 2022, dvs. i to år:

0,43 · 0,43 ≈ 0,1849

Der er 18,5% sandsynlighed for, at det er regnvejr i både 2021 og 2022.

Kommentarer til løsningen

Vi får oplyst, at Sille antager, at sandsynligheden for, at det er regnvejr på hendes fødselsdag er 43% hvert år. Der er derfor 43% sandsynlighed for, at det er regnvejr i 2021, og der er også 43% sandsynlighed for, at det er regnvejr i 2022.

Vi benytter, at

P(regnvejr i 2021 og 2022) = P(regnvejr i 2021) · P(regnvejr i 2022)

Dermed er

P(regnvejr i 2021 og 2022) = 0,43 · 0,43

5.3

Brug regnearket til at finde ud af, hvor stor sandsynligheden er for, at det højst bliver regnvejr på 1 af de 4 fødselsdage.

Hint

Gentag simuleringerne fx 5 eller 10 gange. Tæl antallet af fødselsdage med regnvejr i hver simulering.

Løsning

Vi har lavet 10 simuleringer. 4 ud af de 10 simuleringer viste, at det højst bliver regnvejr på 1 af de 4 fødselsdage, hvilket svarer til 40%.

Kommentarer til løsningen

Vi har lavet 10 simuleringer. Resultatet kan ses herunder:

Simulering	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Antal fødselsdage med regnvejr	2	1	2	2	3	1	1	4	0	2

Vi har markeret de simuleringer, hvor der var 0 eller 1 fødselsdag med regnvejr.

Dit facit afhænger af, hvilke resultater du får, når du laver simuleringerne. Du kan derfor godt få et andet facit end os.

Opgave 6 - Trekanter

6.1

Du skal vise med beregning, at arealet af Silles trekant ABC er 6.

Hint

Arealet, A, af en trekant med højde h og grundlinje g er

$A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g$

Løsning

Vi får oplyst, at Sille tegner trekanten med sidelængderne a = 4 og b = 3, dvs. at trekanten har højden 4, og at længden af grundlinjen er 3:

$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$

Arealet af Silles trekant ABC er 6.

Kommentarer til løsningen

Da trekanten er retvinklet, så er a højden hørende til grundlinjen b.

6.2

Forklar, hvorfor arealet af trekant CDE er dobbelt så stort som arealet af trekant ABC, også selv om man vælger andre sidelængder i den retvinklede trekant ABC, end Sille har gjort.

Hint

Overvej, hvor lange siderne i trekant CDE er ift. siderne i trekant ABC. Beregn derefter arealet af begge trekanter.

Løsning

Vi får oplyst, at BD er dobbelt så lang som BC, dvs. at BC og CD er lige lange.

Vi får også oplyst, at CE er dobbelt så lang som CA.

Arealet af trekant ABC er

$T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |CA|$

Arealet af trekant CDE er

$\begin{align*} T_{CDE} &= \frac{1}{2} \cdot |CE| \cdot |CD| \\[1em] &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot |CA| \cdot |BC| \\[1em] &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |CA| \\[1em] &= 2 \cdot T_{ABC} \end{align}$

Arealet af trekant CDE er dobbelt så stort som arealet af trekant ABC.

Kommentarer til løsningen

BD er dobbelt så lang som BC, dvs. at |BC| = |CD|.

CE er dobbelt så lang som CA, dvs. at |CE| = 2 · |CA|.

Arealet af trekant CDE er

$T_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot |CE| \cdot |CD|$

Da |CE| = 2 · |CA| og |CD| = |BC|, så er

$T_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot |CA| \cdot |BC|$

Vi bytter om på rækkefølgen:

$T_{CDE} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |CA|$

Da $T_{ABC} = \tfrac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |CA|$ , så er

$T_{CDE} = 2 \cdot T_{ABC}$

6.3

Du skal vise ved at tegne, måle og regne, at Silles trekant DEF er 7 gange så stor som hendes trekant ABC. Brug evt. et geometriprogram.

Hint

Tegn Silles trekanter ABC og DEF, og mål arealet af trekant DEF.

Løsning

Vi tegner Silles trekanter:

Vi fandt i opg. 6.1, at Silles trekant ABC har et areal på 6.

Vi bestemmer, hvor meget større arealet af trekant CDE er:

$\frac{42}{6} = 7$

Silles trekant DEF er 7 gange så stor som hendes trekant ABC.

Du kan fx tegne trekanterne i GeoGebra™.

Kommentarer til løsningen

Du kan tegne trekanterne på følgende måde:

Tegn linjestykket CA med længden 3.
Tegn linjen gennem C, der står vinkelret på CA.
Tegn en cirkel med centrum i C og radius r = 4.
Skæringspunkterne mellem linjen og cirklen er B og D.
Tegn linjestykkerne BC og AB.
Tegn den halvlinje med endepunkt i C, der går gennem A.
Tegn cirklen med centrum i A, der går gennem C.
Skæringspunktet mellem halvlinjen og cirklen er E.
Tegn den halvlinje med endepunkt i A, der går gennem B.
Tegn cirklen med centrum i B, der går gennem A.
Skæringspunktet mellem halvlinjen og cirklen er F.
Tegn linjestykkerne DE, EF og DF.

Mål arealet af trekant DEF.

6.4

Undersøg, om Sille har ret.

Facit

Sille har ret.

Hint

Tegn en retvinklet trekant ABC i et geometriprogram og tilføj trekant DEF. Træk i trekant ABC's hjørner og læg mærke til forholdet mellem de to trekanters arealer.

Løsning

Vi tegner en retvinklet trekant ABC og tilføjer trekant DEF:

Selv om vi trækker i trekant ABC's hjørner, så bliver forholdet mellem de to trekanters arealer ved med at være 7, så Sille har ret.

Du kan fx tegne trekanterne i GeoGebra™. Hvis du tegner trekanterne i GeoGebra, så skal du indsætte et skærmbillede fra GeoGebra, der også viser algebra-vinduet, så du viser din beregning af forholdet mellem trekanternes arealer.

Kommentarer til løsningen

Du kan tegne en retvinklet trekant på følgende måde:

Tegn et linjestykke CA.
Tegn den linje, der går gennem C og står vinkelret på CA.
Lad B være et punkt på linjen gennem C.
Tegn linjestykkerne BC og AB.

Tegn derefter trekant DEF på samme måde som i opg. 6.3.

Beregn forholdet mellem de to trekanters arealer.

Træk i trekant ABC's hjørner og læg mærke til, at forholdet mellem arealerne bliver ved med at være 7.

Opgave 7 - Regneudtryk, kvadrater og rektangler

7.1

Hvilket regneudtryk skal der stå i rækken med starttallet 5?

Facit

5² - (5 + 1) · (5 - 1)

Hint

Læg mærke til mønsteret i regneudtrykkene. Læg især mærke til, hvilke tal der er de samme i hvert regneudtryk, og hvor starttallet indgår i regneudtrykket.

Løsning

Rækken med starttallet 5 har regneudtrykket

5² - (5 + 1) · (5 - 1)

Kommentarer til løsningen

Herunder har vi udfyldt tabellen. Vi har markeret starttallene i hvert regneudtryk.

Starttal	Regneudtryk
1	1² - (1 + 1) · (1 - 1)
2	2² - (2 + 1) · (2 - 1)
3	3² - (3 + 1) · (3 - 1)
4	4² - (4 + 1) · (4 - 1)
5	5² - (5 + 1) · (5 - 1)

7.2

Forklar, hvordan man kan se på de to figurer, at resultatet af regneudtrykket med starttal 3 i tabellen er 1.

Hint

Regneudtrykket svarer til forskellen mellem arealerne af de to firkanter.

Løsning

Figur 1 er et kvadrat med sidelængden 3 og et areal på 9. Arealet af figuren er 3².

Figur 2 er et rektangel med sidelængderne 2 og 4 og et areal på 8. Arealet af figuren er (3 + 1) · (3 - 1).

Regneudtrykket 3² - (3 + 1) · (3 - 1) svarer til forskellen mellem arealet af kvadratet og arealet af rektanglet:

9 - 8 = 1

Resultatet af regneudtrykket med starttallet 3 er 1.

Kommentarer til løsningen

3² svarer til arealet af kvadratet, og (3 + 1) · (3 - 1) svarer til arealet af rektanglet, så 3² - (3 + 1) · (3 - 1) svarer til forskellen mellem arealet af kvadratet og arealet af rektanglet.

7.3

Forklar, hvorfor resultatet af regneudtrykket med starttal 4 også er 1. Du skal bruge tegninger som Valdemars.

Hint

Start med at tegne figurer som Valdemars.

Du kan forklare, hvorfor regneudtrykket med starttal 4 også er 1, ved at bruge samme fremgangsmåde som i opg. 7.2.

Løsning

Vi laver to tegninger:

Figur 1	Figur 2

4² = 16	(4 + 1) · (4 - 1) = 15

Regneudtrykket 4² - (4 + 1) · (4 - 1) svarer til forskellen mellem arealet af kvadratet og arealet af rektanglet:

16 - 15 = 1

Resultatet af regneudtrykket med starttallet 4 er også 1.

Kommentarer til løsningen

Figur 1 er et kvadrat med sidelængden 4, da arealet skal svare til 4².

Figur 2 er et rektangel med sidelængderne 5 og 3, da arealet skal svare til (4 + 1) · (4 - 1) = 5 · 3.

7.4

Bevis ved hjælp af tegninger eller omskrivninger, at resultatet af udtrykket er 1, ligegyldigt hvilket starttal man vælger.

Hint

Gang de to parenteser sammen, og ophæv derefter minus-parentesen.

Løsning

Vi får oplyst, at regneudtrykket for starttal n er

n² - (n + 1) · (n – 1)

Vi ganger de to parenteser sammen og får:

n² - (n² - n + n - 1)

Vi ophæver minus-parentesen ved at ændre fortegnet på alle leddene i parentesen og får:

n² - n² + n - n + 1

Vi reducerer udtrykket og får:

Resultatet af regneudtrykket er 1, uanset hvilket starttal man vælger.

Kommentarer til løsningen

Vi ganger de to parenteser sammen ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden parentes:

$n^2 - ({\color{NavyBlue}n} + {\color{OliveGreen}1}) \cdot ({\color{Orange}n} - {\color{Violet}1}) = n^2 - ({\color{NavyBlue}n} \cdot {\color{Orange}n} + {\color{NavyBlue}n} \cdot ({\color{Violet}-1}) + {\color{OliveGreen}1} \cdot {\color{Orange}n} + {\color{OliveGreen}1} \cdot ({\color{Violet}- 1}) )$

Vi benytter, at n · n = n² og at n · (-1) = -n. Vi får:

$n^2 - (n \cdot n + n \cdot (-1) + 1 \cdot n + 1 \cdot (- 1) ) = n^2 - (n^2 - n + n - 1)$

Vi ophæver minus-parentesen ved at ændre fortegnet på alle leddene i parentesen:

$n^2 - (n^2 - n + n - 1) = n^2 \ \textbf{{\color{Red}-}} \ n^2 \ \textbf{{\color{Red}+}} \ n \ \textbf{{\color{Red}-}} \ n \ \textbf{{\color{Red}+}} \ 1$

Vi reducerer udtrykket:

$\cancel{n^2 - n^2} + \cancel{n - n} + 1 = 1$

Du kan også løse opgaven ved at reducere udtrykket i fx GeoGebra™. Reducér udtrykket i GeoGebra ved at skrive "n^2-(n+1)*(n-1)" i CAS-vinduet.

Opgave 8 - Sum og produkt af to tal

8.1

Undersøg, om Silles påstand altid gælder, aldrig gælder eller kun gælder i nogle tilfælde,

når begge de to tal er positive, hele tal.
når begge de to tal er negative, hele tal.
når begge de to tal er positive brøker med tælleren 1.

Facit

Positive, hele tal: Silles påstand gælder kun i nogle tilfælde.

Negative, hele tal: Silles påstand gælder aldrig.

Positive brøker med tælleren 1: Silles påstand gælder altid.

Hint

Positive, hele tal: Prøv med to tal, der er større end 2.

Negative, hele tal: Husk, at "minus gange minus giver plus".

Positive brøker med tælleren 1: Prøv dig frem med mange forskellige brøker, eller overvej, hvor stort produktet af to brøker med tælleren 1 er ift. hver af de to brøker.

Løsning

Positive, hele tal

Eksempel, hvor summen er større end produktet: 1 + 2 = 3 og 1 · 2 = 2

Eksempel, hvor produktet er større end summen: 3 + 5 = 8 og 3 · 5 = 15

Silles påstand gælder kun i nogle tilfælde, når begge de to tal er positive, hele tal.

Negative, hele tal

Når vi lægger to negative, hele tal sammen, så bliver resultatet altid negativt.

Når vi ganger to negative, hele tal sammen, så bliver resultatet altid positivt.

Produktet af to negative, hele tal er derfor altid større end summen af de samme to tal. Silles påstand gælder derfor aldrig, når begge de to tal er negative, hele tal.

Positive brøker med tælleren 1

Når vi ganger to positive brøker med tælleren 1, så svarer det til at tage en brøkdel af en brøk. Resultatet er derfor mindre end hver af de to brøker, vi gangede sammen.

Hvis vi lægger to positive brøker med tælleren 1 sammen, så er resultatet større end hver af de to brøker, vi lagde sammen.

Da produktet bliver mindre end hver af brøkerne, og summen bliver større end hver af brøkerne, så er summen altid større end produktet. Silles påstand gælder altid for positive brøker med tælleren 1.

Kommentarer til løsningen

Negative, hele tal

Argument for at summen er negativ:

Forestil dig en tallinje. Hvis vi lægger et negativt tal til et tal på tallinjen, så bevæger vi os til venstre ad tallinjen. Hvis vi vælger et negativt tal og lægger et negativt tal til, så starter vi til venstre for 0 og bevæger os længere mod venstre ad tallinjen, dvs. at resultatet er negativt.

Argument for at produktet er positivt:

"Minus gange minus giver plus", så når vi ganger to negative tal med hinanden, så er resultatet altid positivt.

Positive brøker med tælleren 1

Vi kan bestemme 1/3 af 6 ved at beregne $\tfrac{1}{3} \cdot 6$ . På tilsvarende vis kan vi bestemme 1/3 af 1/2 ved at beregne $\tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{1}{2}$ . Produktet af to brøker med tælleren 1 svarer altså til at bestemme en brøkdel af en brøk. Produktet er derfor mindre end hver af de to brøker.

Højde, h	1 m
Radius i den mindste endeflade, r	0,5 m
Radius i den største endeflade, R	0,626 m
Rumfang, $V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \pi \cdot \left (R^2 + r^2 + R \cdot r \right )$	1 m³