December 2022

Opgave 1 - Besøgende på en udstilling om design

Opgave 2 - Design af en bordskåner

Opgave 3 - Design af et popcornbæger

Opgave 4 - Design af en stol

Opgave 5 - Design af et vindue

Opgave 6 - Talfølger

Opgave 7 - En regneopskrift

Opgave 8 - Trekanter med arealet 2

1.1

1.2

1.3

1.4

2.1

2.2

2.3

2.4

3.1

4.1

4.2

4.3

4.4

5.1

5.2

5.3

5.4

6.1

6.2

6.3

6.4

7.1

7.2

7.3

8.1

Her er vores besvarelse til Matematik FP10 fra 6. december 2022.

Besvarelsen indeholder opgavernes facit og vores løsninger. Besvarelsen indeholder også hints, som du kan bruge, hvis du er i tvivl om, hvordan du kan komme i gang med en opgave.

Bemærk: Besvarelsen indeholder ikke selve opgaverne.

Indhold

Opgave 1 - Besøgende på en udstilling om design
Opgave 2 - Design af en bordskåner
Opgave 3 - Design af et popcornbæger
Opgave 4 - Design af en stol
Opgave 5 - Design af et vindue
Opgave 6 - Talfølger
Opgave 7 - En regneopskrift
Opgave 8 - Trekanter med arealet 2

Du skal vise med beregning, at der i alt var 5924 besøgende de tre dage.

Hint

Læg antallet af besøgende for fredag (786), lørdag (2355) og søndag (2783) sammen.

Løsning

Vi beregner det samlede antal besøgende de tre dage:

786 + 2355 + 2783 = 5924

Der var 5924 besøgende de tre dage.

Kommentarer til løsningen

Det er vigtigt, at du ikke kun angiver facit, men at du også opstiller et regneudtryk:

786 + 2355 + 2783

Hvor mange besøgende var der i gennemsnit om dagen i de tre dage?

Facit

1975 besøgende

Hint

Du kan beregne, hvor mange besøgende der i gennemsnit var om dagen med formlen

$\frac{\text{Antal bes\o gende i alt}}{\text{Antal dage}}$

Løsning

Vi beregner det gennemsnitlige antal besøgende:

5924 : 3 ≈ 1975

Der var ca. 1975 besøgende om dagen i gennemsnit.

Kommentarer til løsningen

Vi beregnede i opg. 1.1, at der var 5924 besøgende i alt de tre dage. Vi bestemmer gennemsnittet ved at dele med antallet af dage, dvs. 3.

Hvor stor en procentdel af det samlede antal besøgende var på udstillingen om fredagen?

Facit

13,3%

Hint

Du kan beregne, hvor stor en andel A udgør af B med formlen:

$\frac{A}{B}$

Løsning

Vi bestemmer, hvor stor en andel af de besøgende, der var på udstillingen om fredagen:

786 : 5924 ≈ 0,133

Ca. 13,3% af de besøgende var på udstillingen om fredagen.

Kommentarer til løsningen

Regneudtrykket giver et decimaltal, som vi omregner til procent. Vi omregner til procent ved at gange med 100, dvs. ved at rykke kommaet to pladser mod højre:

0,133 = 13,3%

Hvor mange besøgende havde arrangørerne håbet på?

Facit

6582 besøgende

Hint

Beregn først, hvad 1% af det forventede antal besøgende er, ved at dele 5924 med 90.

Løsning

Vi bestemmer, hvor mange besøgende, der svarer til 1% af det forventede antal:

$\frac{5924}{90} \approx 65,82$

Vi bestemmer, hvor mange besøgende, der svarer til 100% af det forventede antal:

65,8 · 100 = 6582

Arrangørerne havde håbet på 6582 besøgende.

Kommentarer til løsningen

Vi får at vide, at de 5924 besøgende udgør ca. 90% af det forventede antal besøgende. Vi bestemmer, hvor mange besøgende, der udgør 1% af det forventede antal ved at dele 5924 med 90, hvilket er 65,82.

Da 1% af det forventede antal er 65,82, så er 100% af det forventede antal 100 gange så mange, dvs. 6582.

Forklar, hvorfor vinkel u og t begge skal være 54°.

Hint

Hvert stykke træ har form som en ligebenet trekant.

Løsning

Hvert stykke træ har form som en ligebenet trekant, så vinklerne u og t er lige store.

Vinkelsummen i en trekant er 180°. Vi bestemmer summen af u og t:

180° - 72° = 108°

Vi bestemmer vinkel u og t:

108° : 2 = 54°

Vinkel u og t skal begge være 54°.

Kommentarer til løsningen

I en ligebenet trekant er grundvinklerne lige store, så vinkel u og vinkel t er lige store.

Vinkelsummen i en trekant er 180°, så

u + t + v = 180°

Vi får oplyst, at topvinklen v er 72°, så

u + t + 72° = 180°

Summen af u og t er altså 180° - 72°, dvs. 108°.

Da vinkel u og t er lige store, så må de hver især være halvdelen af 108°.

Tegn bordskåneren set fra oven. Du bestemmer selv, hvor stor du vil tegne den, men du skal tegne vinklerne med de korrekte mål.

Hint

Bordskåneren består af fem ens stykker træ. Overvej, hvilken form hele bordskåneren har.

Løsning

Vi tegner bordskåneren set fra oven:

Kommentarer til løsningen

Bordskåneren har form som en regulær femkant, dvs. at alle femkantens sider er lige lange, og alle vinklerne er lige store.

Du kan tegne bordskåneren i GeoGebra™ på følgende måde:

Vælg "Regulær polygon". Klik først ét sted på tegneblokken og derefter et andet sted.
Skriv "5" i den boks, der dukker op. Du får nu tegnet en regulær femkant.
Vælg "Midtpunkt eller centrum" og klik på femkanten. Du får nu tegnet femkantens midtpunkt.
Vælg "Linjestykke". Klik på ét af femkantens hjørner og derefter på midtpunktet. Gentag med alle de andre hjørner i femkanten.
Vælg "Vinkel". Klik på ét af femkantens hjørner, derefter midtpunktet og så det forrige hjørne i femkanten. Du får nu markeret topvinklen i en af de ligebenede trekanter, som femkanten består af. Gentag med de øvrige hjørner i femkanten.

Hvor lang bliver siden s på den ligebenede trekant, hvis højden h er 8 cm?

Facit

11,6 cm

Hint

Du kan bruge tangens:

$\tan(A) = \frac{a}{b}$

Løsning

Højden deler den ligebenede trekant i to retvinklede trekanter:

Vi bruger tangens til at bestemme længden af siden s, når højden h er 8 cm:

$\tan(36\degree) = \frac{\dfrac{s}{2}}{8} \quad \rightarrow \quad s \approx 11,6$

Siden s bliver 11,6 cm.

Kommentarer til løsningen

Højden deler den ligebenede trekant i to retvinklede trekanter. Hver retvinklet trekant har en side med længden s/2, en side med længden 8 cm (h) og en vinkel på 36° (v/2):

Vi benytter tangens til at bestemme længden af siden s:

$\tan(36\degree) = \frac{\dfrac{s}{2}}{8}$

Du kan fx løse ligningen i GeoGebra™. Løs ligningen ved at skrive Løsninger(tan(36°)=(s/2)/8) i CAS-vinduet og derefter trykke på "≈".

Hvordan kan man bruge sinus, cosinus eller tangens til at beregne, hvor lang højden h bliver, hvis siden s er 14 cm?

Hint

Du kan bruge tangens:

$\tan(A) = \frac{a}{b}$

Løsning

Højden deler den ligebenede trekant i to retvinklede trekanter:

Vi bruger tangens til at bestemme højden h:

$\tan(36\degree) = \frac{7}{h} \quad \rightarrow \quad h \approx 9,63$

Højden h er 9,63 cm.

Kommentarer til løsningen

Højden deler den ligebenede trekant i to retvinklede trekanter. Hver retvinklet trekant har en vinkel på 36° (v/2), en side med længden h og en side, der er halv så lang som s, dvs. 7 cm:

Vi benytter tangens til at bestemme højden h:

$\tan(36\degree) = \frac{7}{h}$

Du kan fx løse ligningen i GeoGebra™. Løs ligningen ved at skrive Løsninger(tan(36°)=7/h) i CAS-vinduet og derefter trykke på "≈".

Giv et forslag til, hvilke mål bægeret kan have, hvis det har form som

en kasse
en kegle
en pyramidestub med kvadratisk grundflade og topflade.

Hint

Du kan fx prøve dig frem ved at vælge alle målene pånær ét og så justere på det sidste mål, indtil rumfanget er 3000 cm³.

Du kan også indsætte de mål, du har valgt, i formlen for rumfanget og isolere det sidste mål.

Løsning

Kasseformet bæger

Kegleformet bæger

V = \tfrac{1}{3} \cdot h \cdot \pi \cdot r^2

\frac{1}{3} \cdot 30 \cdot \pi \cdot 9,77 \approx 3000

Pyramidestubformet bæger

V = \tfrac{1}{3} \cdot h \cdot \left ( S^2 + s^2 + S\cdot s \right )

\frac{1}{3} \cdot 30 \cdot \left ( 11,87^2 + 8^2 + 11,87\cdot 8 \right ) \approx 3000

Kommentarer til løsningen

Vores løsning er et eksempel på en løsning. Der findes mange andre løsninger.

Vi vælger alle bægerets mål pånær ét. Fx vælger vi for det kegleformede bæger, at højden h skal være 30 cm.

Vi indsætter de mål, vi har valgt, samt rumfanget på 3000 cm³ i formlen for rumfanget og isolerer det sidste mål:

$3000 = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot \pi \cdot r^2 \quad \rightarrow \quad r \approx 9,77$

Du kan fx isolere den ukendte størrelse i GeoGebra™. Løs ovenstående ligning ved at skrive Løsninger(3000=(1/3)*30*pi*r^2) i CAS-vinduet og klikke på "≈".

Hvor stor er forskellen på den største og den mindste længde, der er målt på de 100 personer?

Facit

16 cm

Hint

Aflæs den største og mindste værdi i datasættet, og beregn forskellen.

Løsning

Vi bestemmer forskellen på den største og mindste længde:

54 - 38 = 16

Forskellen på den største og mindste længde er 16 cm.

Kommentarer til løsningen

Vi aflæser, at den største værdi er 54 cm. Vi aflæser også, at den mindste værdi er 38 cm.

Forskellen på de to værdier er 16 cm.

Fremstil et diagram, der viser fordelingen af de 100 længder.

Hint

Du kan fx lave et søjlediagram.

Løsning

Vi laver et søjlediagram, der viser fordelingen af de 100 længder:

Kommentarer til løsningen

Vi har lavet et søjlediagram. Du kan også lave en anden form for diagram.

Vi har lavet diagrammet i Excel.

Skriv et argument for, at det ikke er en god ide at vælge datasættets typetal.

Hint

Længderne af de 100 personers underben er mellem 38 cm og 54 cm.

Løsning

Typetallet er 41 cm.

Længderne af de 100 personers underben er mellem 38 cm og 54 cm. Typetallet på 41 cm ligger derfor i den lave ende af intervallet, så selv om typetallet er 41 cm, så vil mange mennesker have markant længere underben end 41 cm, dvs. at mange mennesker vil opleve, at stolen er for lav.

Kommentarer til løsningen

Typetallet er den observation, der optræder oftest i datasættet. Den længde underben, som flest personer har, er 41 cm, så 41 cm er typetallet.

Giv et forslag til, hvilke to højder der vil passe bedst til de 100 længder. Du skal bruge datasættet til at begrunde dit svar.

Hint

Brug evt. diagrammet fra opg. 4.2.

Løsning

Vi kan se på diagrammet i opg. 4.2, at en stor del af de 100 personer har underben med længder omkring 41 cm, mens en anden stor del af de 100 personer har underben med længder omkring 48 cm.

Vi foreslår derfor, at de to højder skal være 41 cm og 48 cm.

Kommentarer til løsningen

Vi kan se to "toppe" på diagrammet fra opg. 4.2:

Den ene "top" er omkring 41 cm, mens den anden "top" er omkring 48 cm. Jo flere personer, der synes, at stolen har en god højde, jo bedre. Vi foreslår derfor, at stolenes højder skal være 41 cm og 48 cm, da en stor del af de 100 personer har underben med længder omkring 41 cm og 48 cm.

Hvor lang skal den længste side af vinduets ramme være, hvis den korteste side skal være 30 cm?

Facit

48,6 cm

Hint

Den længste side skal være ca. 1,62 gange så lang som den korteste side.

Løsning

Vi beregner længden af den længste side:

30 · 1,62 ≈ 48,6

Den længste side skal være 48,6 cm.

Kommentarer til løsningen

Den længste side skal være ca. 1,62 gange så lang som den korteste side. Vi ganger derfor længden af den korteste side (30 cm) med 1,62.

Hvor lang skal den korteste side af vinduets ramme være, hvis den længste side skal være 80 cm?

Facit

49,4 cm

Hint

Den længste side skal være ca. 1,62 gange så lang som den korteste side.

Løsning

Vi beregner længden af den korteste side:

x · 1,62 = 80 → x ≈ 49,4

Den korteste side skal være 49,4 cm.

Kommentarer til løsningen

Den længste side skal være ca. 1,62 gange så lang som den korteste side. Vi kalder længden af den korteste side for x. Dermed er

x · 1,62 = 80

Du kan fx løse ligningen i GeoGebra™. Løs ligningen ved at skrive Løsninger(x*1.62=80) og tryk "=".

Forklar, hvorfor arealet af et gyldent rektangel bliver 1,62 · a², hvis den korteste side i rektanglet har længden a.

Hint

Arealet A af et rektangel med længden l og bredden b er

A = l · b

Løsning

Hvis den korteste side har længden a, så har den længste side længden 1,62 · a. Arealet af det gyldne rektangel er derfor

a · 1,62 · a = 1,62 · a²

Kommentarer til løsningen

Den længste side skal være ca. 1,62 gange så lang som den korteste side, så hvis den korteste side har længden a, så skal den længste side have længden 1,62 · a.

Vi bestemmer arealet ved at gange længden af den korteste side (a) med længden af den længste side (1,62 · a).

Undersøg, hvor lang den korteste side i et gyldent rektangel skal være, hvis arealet af det skal være 0,5 m².

Facit

0,56 m

Hint

Brug formlen fra opg. 5.3.

Løsning

Vi undersøger, hvor lang den korteste side skal være, hvis arealet skal være 0,5 m²:

1,62 · a² = 0,5 → x ≈ 0,56

Den korteste side skal være 0,56 m, dvs. 56 cm.

Kommentarer til løsningen

I opg. 5.3 forklarede vi, at når længden af den korteste side er a, så er arealet 1,62 · a². Vi beregner a, så arealet er 0,5 m² ved at løse ligningen

1,62 · a² = 0,5

Du kan fx løse ligningen i GeoGebra™. Løs ligningen ved at skrive Løsninger(1.62*a^2=0.5) og tryk "=".

Vær opmærksom på, at arealets enhed er m², så resultatet har enheden m.

Hvilket tal skal der stå i det blå felt i talfølge 1?

Facit

Hint

Sammenhængen mellem trinene og tallene i talfølge 1 står i sidste kolonne i tabellen.

Løsning

Vi beregner det 3. tal i talfølge 1:

2 · 3 = 6

Tallet 6 skal stå i det blå felt i talfølge 1.

Kommentarer til løsningen

Det n'te tal i talfølge 1 er 2 · n, så det 3. tal er 2 · 3.

Hvilket tal skal der stå i det blå felt i talfølge 2?

Facit

1024

Hint

Sammenhængen mellem trinene og tallene i talfølge 2 står i sidste kolonne i tabellen.

Løsning

Vi beregner det 10. tal i talfølge 2:

2¹⁰ = 1024

Tallet 1024 skal stå i det blå felt i talfølge 2.

Kommentarer til løsningen

Det n'te tal i talfølge 2 er 2ⁿ, så det 10. tal er 2¹⁰.

Hvilket udtryk skal der stå i det blå felt i talfølge 3?

Facit

n²

Hint

Undersøg, hvilken sammenhæng der er mellem tallene i øverste række i tabellen og tallene i nederste række i tabellen.

Løsning

Tallene i den nederste række i tabellen fremkommer ved at sætte tallene i den øverste række i anden, så der skal stå n² i det blå felt i talfølge 3.

Kommentarer til løsningen

Vi bemærker, at tallene i den nederste række fremkommer ved at gange tallene i den øverste række med sig selv, dvs. ved at sætte dem i anden. Fx er 3 · 3 = 3² = 9:

Undersøg, hvilke andre tal der er med i alle tre talfølger.

Facit

Fx 16, 64 og 256.

Hint

Du kan fx lave en tabel som nedenstående og undersøge, hvilke tal der er med i alle tre talfølger:

Løsning

Vi beregner tallene i talfølgerne i et regneark:

Tallene 16, 64 og 256 er med i alle tre talfølger.

Kommentarer til løsningen

Herunder kan du se de formler, som vi har brugt til at beregne tallene i talfølgerne:

Hvad er resultatet i trin D, hvis starttallet er 4?

Facit

Hint

Du kan fx opstille en tabel ligesom i opgaven og følge regneopskriften trin for trin.

Løsning

Trin	Eksempel
A	4
B	4, 5, 6
C	4 + 5 + 6 = 15
D	15 : 3 = 5

Kommentarer til løsningen

Trin A: Starttallet er 4.

Trin B: De to efterfølgende tal er 5 og 6.

Trin C: Summen af 4, 5 og 6 er 15.

Trin D: Vi deler resultatet i trin C (dvs. 15) med 3, hvilket giver 5.

Forklar, hvorfor Luna har ret.

Hint

Hvis starttallet er a, så er de to efterfølgende tal a + 1 og a + 2.

Løsning

Når starttallet er a, så er de to efterfølgende tal a + 1 og a + 2.

Summen af de tre tal er a + (a + 1) + (a + 2).

Resultatet i trin D er summen af de tre tal divideret med 3, dvs.

$\frac{a + (a+1) + (a+2)}{3}$

Kommentarer til løsningen

Vi kan også nå frem til udtrykket ved at udfylde en tabel ligesom i opgaven:

Trin	Eksempel
A
B
C
D	$\frac{a + (a+1) + (a+2)}{3}$

Bevis, at resultatet i trin D altid er 1 større end starttallet i trin A.

Hint

Omskriv udtrykket fra opg. 7.2.

Løsning

Vi omskriver udtrykket fra opg. 7.2:

$\frac{a + (a+1) + (a+2)}{3} \quad \rightarrow \quad a + 1$

Når starttallet er a, så er resultatet i trin D a + 1, dvs. at resultatet i trin D altid er 1 større end starttallet i trin A.

Kommentarer til løsningen

Du kan fx omskrive udtrykket i GeoGebra™. Skriv (a+(a+1)+(a+2))/3 i CAS-vinduet og tryk på "=".

$h = \sqrt{2}, g = 2\sqrt{2}$

$h = \frac{1}{2}\sqrt{2}, g = 4\sqrt{2}$

Undersøg, hvor mange forskellige trekanter med arealet 2, det er muligt at tegne. Du kan vise dine løsninger på svararket.

Hint

Arealet T af en trekant med højde h og grundlinjen g er

$T = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g$

Løsning

Vi har tegnet 12 forskellige trekanter.

Kommentarer til løsningen

Arealet T af en trekant med højde h og grundlinjen g er

$T = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g$

Da arealet af hvert kvadrat i kvadratnettet er 1, så har hvert kvadrat sidelængden 1:

Vi benytter Pythagoras' sætning til at bestemme længden af det røde linjestykke på figuren:

1² + 1² = c² → c = √2

Herunder har vi markeret højden og grundlinjen i hver trekant:

Længde, l (målt i cm)	10
Bredde, b (målt i cm)	10
Højde, h (målt i cm)	30
Rumfang, V = l · b · h (målt i cm³)	$10 \cdot 10 \cdot 30 = 3000$

Radius, r (målt i cm)	9,77
Højde, h (målt i cm)	30
Rumfang, $V = \tfrac{1}{3} \cdot h \cdot \pi \cdot r^2$ (målt i cm³)	$\frac{1}{3} \cdot 30 \cdot \pi \cdot 9,77 \approx 3000$

Højde, h (målt i cm)	30
Grundfladens sidelængde, S (målt i cm)	11,87
Topfladens sidelængde, s (målt i cm)	10
Rumfang, $V = \tfrac{1}{3} \cdot h \cdot \left ( S^2 + s^2 + S\cdot s \right )$ (målt i cm³)	$\frac{1}{3} \cdot 30 \cdot \left ( 11,87^2 + 8^2 + 11,87\cdot 8 \right ) \approx 3000$

Trin:	1	2	3	4	$\cdots$	10	$\cdots$	$\cdots$	n
Talfølge 3:	1²	2²	3²	4²	$\cdots$	10²	$\cdots$	$\cdots$	n²