Bestem væksthastigheden vha. en differentialligning

Du får her en metode til at løse opgaver om differentialligninger, hvor du skal bestemme væksthastigheden for en bestemt værdi af de variable. Opgaver af denne type beskriver typisk en situation fra virkeligheden ved hjælp af en differentialligning. Det kan fx være udviklingen i antallet af bier på en lille ø, over tid. At du skal bestemme væksthastigheden på et bestemt tidspunkt, betyder, i dette tilfælde, at du skal bestemme, hvor meget antallet af bier ændrer sig på netop dét tidspunkt.

Herunder finder du fire eksempler på opgaveformuleringer:

  • Hvor hurtigt vokser spiren, når den er 2 cm. høj?
  • Bestem væksthastigheden, når h = 27.
  • Benyt modellen til at bestemme den øjeblikkelige ændring for y = 5.
  • Bestem hvor hurtigt koncentrationen af insulin aftager, når t = 10.

Det står ikke altid eksplicit i opgaven, at det er væksthastigheden, du skal bestemme, og derfor vil du i nogle tilfælde selv skulle læse det ud af opgaveformuleringen. I så fald kan du genkende denne type af opgave på følgende to ting: For det første indgår ordene ’ændring’, ’hastighed’, ’aftager’ eller ’vokser’ ofte i opgaveformuleringen. For det andet får du oplyst en værdi af den ene eller begge variable.

Du kan læse mere om differentialligninger og bestemmelse af væksthastighed på siden Væksthastighed i vores kompendium om differentialligninger.…

...

Metode

1. Identificér differentialligningen

Start med at identificere differentialligningen. Den er typisk givet i opgaveformuleringen eller evt. i en tidligere opgave.

2. Identificér værdien af den ene eller begge variable og en eventuel k…

...

Eksempel: Bestem væksthastigheden, når én variabel indgår direkte i differentialligningen

En lille havedam med fisk skal etableres. De første år efter at fiskene er blevet sat ud, forventer haveejeren, at antallet af fisk i havedammen kan beskrives ved funktionen f(t), hvor f angiver antallet af fisk til tiden t (målt i år efter at fiskene blev sat ud). f(t) er en løsning til differentialligningen

f' = 0,033 · f · (26 - f)

 Bestem væksthastigheden, da der var 9 fisk i havedammen.

Løsning med WordMat
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple™
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire™
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

...

Eksempel: Bestem væksthastigheden, når begge variable indgår direkte i differentialligningen

I en model beskrives antallet af bier på en ø ved funktionen y(t), der er en løsning til differentialligningen

y' = 0,3 · e-0,3·t · y 

y(t) betegner antallet af bier til tiden t (målt i år). Det oplyses, at y(2) = 46209.
Bestem væksthastigheden for bestanden af bier til tiden t = 2.

Løsning med WordMat
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

 …

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind