Bestem, hvornår væksthastigheden er størst

En af typeopgaverne inden for logistisk vækst er at bestemme, hvornår væksthastigheden er størst. Opgaven tager typisk udgangspunkt i en model af en virkelig situation. Det kan fx være, at der er opstillet en differentialligning for at beskrive udviklingen i antallet af fugle på en ø. At du skal bestemme, hvornår væksthastigheden er størst, betyder, i denne kontekst, at du skal bestemme, hvornår bestanden af fugle vokser hurtigst, dvs. hvornår der kommer flest nye fugle til.

Her er to eksempler på, hvordan opgaven kan være formuleret:

  • Benyt modellen til at bestemme det tidspunkt, hvor væksthastigheden for antallet af egern er størst.
  • Bestem mængden af bakterier på det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst.

Denne typeopgave er forholdsvis nem at genkende, idet der eksplicit står i opgaveformuleringen, at du skal bestemme, hvornår væksthastigheden er størst.…

...

Metode

1. Identificér funktionen og den øvre grænse

En funktion, der beskriver en logistisk vækst, er en løsning til en differentialligning på formen

 y'=k \cdot y \cdot (M-y)

k og M er konstanter, der begge er større end 0. En sådan funktion har følgende funktionsudtryk:

 y(t)=\frac{M}{1+c \cdot e^{-k \cdot t \cdot M}}

k og M er her de samme konstanter, som optræder i differentialligningen og c er ligeledes en konstant. Vær opmærksom på, at navngivningen af de variable kan være anderledes i den opgave, du sidder med, fx N eller p i stedet for y, eller x i stedet for t.

Den funktion, du skal arbejde med, vil du typisk have bestemt i en tidligere opgave. Start med at identificere funktionen og definér den i dit CAS-værktøj.

Du skal også identificere funktionsværdiernes øvre grænse (også kaldet bæreevnen). Den øvre grænse er den kon…

...

Eksempel: Bestem værdien af den afhængige variabel, for hvilken væksthastigheden er størst

Funktionen

 N(t)=\frac{986}{1+250 \cdot e^{-0,25 \cdot t}}

antages at kunne beskrive antallet af orme i en kompostbeholder. N betegner antallet af orme til tiden t (målt i uger). Bestem antallet af orme på det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst.

Løsning med WordMat
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple™
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire™
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

...

Eksempel: Bestem værdien af den uafhængige variabel, for hvilken væksthastigheden er størst

I en model antages antallet af storkepar i verden at kunne beskrives ved funktionen

 y(t)=\frac{300000}{1+1,1 \cdot e^{-0,0951 \cdot t}}

y(t) beskriver antallet af storkepar på et givent tidspunkt t (målt i år efter 1984). Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for antallet af storkepar er størst.

Løsning med WordMat
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med Maple
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

Løsning med TI-Nspire
 

Kun brugere med et Studienet VIP medlemskab kan læse denne tekst.

 …

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind