Trigonometriske grundligninger

Hvad er en trigonometrisk grundligning?

Vi kalder en ligning for en trigonometrisk grundligning, hvis udtrykket på den ene side af ligningen er cos(v), sin(v) eller tan(v), og der er en konstant, k, på den anden side af lighedstegnet. Her er tre eksempler:

Grundligninger med cosinus

I dette afsnit gennemgår vi, hvordan vi kan løse trigonometriske grundligninger af typen

cos(v) = k,   -1 ≤ k ≤ 1

Da cosinus er periodisk med perioden 2π, så kan vi bestemme den fuldstændige løsning, når vi kender løsningerne i intervallet [0;2π[. Vi starter derfor med at bestemme løsningerne i intervallet [0;2π[.

Hver ligning har to løsninger i intervallet [0;2π[. Når vi løser ligningen cos(v) = k i et CAS-værktøj, så får vi den ene løsning. Vi kan bestemme den anden løsning ved at benytte et koordinatsystem med en enhedscirkel. Vi benytter følgende fremgangsmåde:

1. Vi tegner linjen givet ved ligningen x = k, og markerer de to vinkler, der er løsninger til ligningen.
2. Vi løser ligningen cos(v) = k i et CAS-værktøj og afgør hvilken af de to vinkler, vi har fundet.
3. Vi benytter symmetri til at bestemme den anden vinkel.

Eksempel: Løs ligningen cos(v) = 0,4

Vi vil løse ligningen 

cos(v) = 0,4

I første omgang bestemmer vi løsningerne i intervallet [0;2π[.

Vi tegner først linjen x = 0,4 i et koordinatsystem sammen med en enhedscirkel:

Derefter markerer vi de to vinkler, der opfylder, at cos(v) = 0,4 ved at forbinde O(0,0) med skæringspunkterne mellem cirklen og linjen:

Vi løser derefter ligningen cos(v) = 0,4 i et CAS-værktøj:

Vinklen v ≈ 1,159 er en løsning til ligningen. Bemærk, at vi beregner vinklen i radianer. Da π/2 svarer til en kvart omgang i enhedscirklen, og π/2 ≈ 1,571, så har vi fundet vinklen v1.

Vi kan se i koordinatsystemet, at vi kan bestemme den anden vinkel, v2, ved at trække v1 fra 2π, da v2 svarer til en hel omg...