Tangens

Indhold

Definition
- Eksempel: Bestem tan⁡(150°)
- Eksempel: Bestem tan⁡(π/3)
Definitionsmængde og værdimængde
Tangensfunktionen er periodisk med perioden π
Asymptoter
Nulpunkter

Definition

Tangensfunktionen defineres ud fra sinus- og cosinusfunktionen.

Definition. Tangensfunktionen.

Tangensfunktionen, tan(x), er defineret ved

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, \quad \cos(x) \neq 0$

Tangensfunktionen er kun defineret for cos⁡(x) ≠ 0, da vi ikke kan dividere med 0. Vi ved, at cosinusfunktionens nulpunkter er på formen

$\frac{\pi}{2} + p\pi, \quad p \text{ er et helt tal}$

Tangensfunktionen er derfor defineret for

$x \neq \frac{\pi}{2} + p \pi, \quad p \text{ er et helt tal}$

Grafen for tan(x) kan ses herunder.

Eksempel: Bestem tan⁡(150°)

Vi bestemmer tan⁡(150°):

$\begin{align*} \tan(150\degree) &= \frac{\sin(150\degree)}{\cos(150\degree)} \\[1em] &= \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \\[1em] &= \frac{1}{2} \cdot \left ( - \frac{2}{\sqrt{3}} \right ) \\[1em] &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{align}$

Eksempel: Bestem tan⁡(π/3)

Vi bestemmer tan⁡(π/3):

$\begin{align*} \tan\left ( \frac{\pi}{3} \right ) &= \frac{\sin \left (\frac{\pi}{3} \right)}{\cos \left (\frac{\pi}{3} \right)} \\[1em] &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \\[1em] &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} \\[1em] &= \sqrt{3} \end{align}$

Definitionsmængde og værdimængde

Tangensfunktionen er ikke defineret for cos⁡(x) = 0, dvs. at tan(x) ikke er defineret for cosinusfunktionens nulpunkter:

$x = \frac{\pi}{2} + p\pi, \quad p \text{ er et helt tal}$

Fx er tan(x) ikke defineret for -3π/2, -π/2, π/2 eller 3π/2. Da afstanden mellem cosinusfunktionens nulpunkter er π, så er tangensfunktionen defineret på åbne...