Uendelige rækker
- STX 3.g
- Matematik A
- 11
- 20
- 6057
Uendelige rækker
Indledning
Uendelige rækker er en metode, der bl.a. gør det muligt at beskrive størrelser, der ellers er meget vanskelige at finde. Fx de irrationale tal e og π, som jeg kommer ind på senere. Jeg vil i denne opgave også komme forbi den særlig gren af uendelige rækker, der kaldes Taylorrækker. Det er en type rækker, der har den egenskab at de kan tilnærme funktioner, så ellers besværlige funktioner som lnx og de trigonometriske funktioner cosx og sinx kan tilnærmes med polynomier. Ellers vil jeg hovedsageligt arbejde med konvergens og divergens af forskellige rækker. Dvs. hvad der sker med rækken, når man lægger uendeligt mange led sammen.
Indhold
Indhold 1
Indledning 2
Historie 2
Talfølger 2
Rækker 3
Konvergens og divergens 4
Kvotientrækker 4
Konvergenskriterier 6
Sammenligningstesten 6
Cauchy´s kriterier 6
Rodkriteriet 6
Kvotientkriteriet 8
Integralkriteriet 9
Restled 11
- et irrationalt tal 12
Konvergenshastighed og forbedring af arctan 15
Taylorrækken 16
Litteraturliste 20
Uddrag
Historie
Ideen om at beskrive størrelser ved hjælp af rækker opstod allerede for næsten 4000 år siden. De første eksempler er fundet i det berømte 'Papyrus Rhind' fra ca. 1650 f.Kr. Der var der eksempler på såkaldte geometriske rækker, som jeg også kommer ind på. Senere har stort set alle historiens store matematikere behandlet emnet. Indtil ca. 1635 havde man kun opereret med endelige rækker som fx skakbrætopgaven fra omkring år 880. Men efter 1635 begyndte folk som Newton, Euler, Fermat og Leibniz at arbejde med uendelige rækker, og netop omkring denne tid udviklede teorien om uendelige rækker sig enormt, for der var god brug for uendelige rækker. Det blev med uendelige rækker relativt simpelt at beregne nogle ting, der før havde været meget komplicerede. Ca. 100 år efter de første uendelige rækker, dukkede Taylorrækkerne op. De kom også til at spille en vigtig rolle, da de lige som de almindelige rækker gjorde udregninger lettere.
Talfølger
Definition: En talfølge er en tællelig uendelig række af tal med komma imellem:... Køb adgang for at læse mere Allerede medlem? Log ind