SSO om ellipsen
- HF 2. år
- SSO (Matematik A)
- 12
- 33
- 8109
SSO om ellipsen
SSO'en i Matematik A indeholder en total gennemgang af ellipsen og dens egenskaber. Endvidere om keglesnit. Indeholder gennemgang og udledning af div. formler og eksempler på regneopgaver med ellipsens ligning.
Opgaveformulering
• Gør rede for ellipsens egenskaber belyst ved både analytiske og geometriske fremstillinger.
• Redegør for ækvivalensen mellem disse. Du kan f.eks. tage udgangspunkt i opgave 1.
• Gennemgå ligningen for en ellipse med vilkårligt centrum.
• Løs opgave 1 og 2.
Opgave1 :
Givet er en ellipse med ligningen x^2/169+y^2/25=1
Vis, at ellipsen også kan angives ved {P||PE|+|PF|=26}, hvor E og F er to faste punkter i koordinatsystemet. Beregn E og F's koordinater
Vis at ellipsen også kan angives ved: {P| |PE|=12/13 dist(P,l)} hvor E er et fast punkt og l er en bestemt linje. Angiv ligningen for l og koordinaterne for E.
Opgave 2
Bestem centrum, halvakser og excentricitet for ellipsen givet ved ligningen: x2-6x+9y2+18y-18=0
Indhold
Opgaveformulering 3
Summary 4
Indledning 5
Keglesnittenes historie 6
Keglesnittene 7
Hyperblen og parablen 8
Ellipsen 9
Ellipsen som geometrisk sted 9
Ellipsens symmetriforhold og excentricitet 12
Ellipsens ligning 14
Ellipsens sumegenskab 16
Den parallelforskudte ellipses ligning 18
Eksempel på beregning med ellipsens ligning 18
Eksempel på beregning med den parallelforskudte ellipses ligning 19
Ellipsens parameterfremstilling 20
Eksempel på beregning med ellipsens parameterfremstilling 21
Ellipsens tangenter 22
Ækvivalensen mellem ellipsens analytiske og geometriske egenskaber 25
Løsning af opgave 1 26
Løsning af opgave 2 29
Konklusion 30
Kildefortegnelse 31
Bilag 1 32
Bilag 2 33
Uddrag
Indledning
I denne opgave ønsker jeg at behandle ellipsen og dennes egenskaber ved både analytiske og geometriske fremstillinger. Derudover vil jeg gøre rede for ækvivalensen mellem disse.
Jeg vil kort introducere keglesnittenes historie og herefter, kort, præsentere snittene hyperblen og parablen for herefter at arbejde indgående med ellipsen.
Jeg vil beskrive forskellige metoder, hvorpå man kan konstruere og beskrive en ellipse. Derefter vil jeg gennemgå ligningen for en ellipse med vilkårligt centrum, vise at en ellipse kan beskrives ved en parameterfremstilling og gennemgå ellipsens tangenter. Til nogle af beviserne, vil jeg give et kort regne eksempel.
Hvert bevis vil være markeret med en fodnote, der angiver kilden, der har været brugt som forudsætning for gennemgangen af de enkelte beviser.
I opgaven vil jeg undervejs benytte mig af figurer, der skal hjælpe i argumentationerne for de enkelte observationer.
Keglesnittenes historie
Keglesnittene har gennem tiden været brugt af mange matematikere. Helt tilbage i oldtiden studerede græske filosoffer og matematikere keglesnittenes egenskaber.
Ellipsen er den ene type af de såkaldte keglesnit. De andre to typer af keglesnit er parablen og hyperblen. Oprindelsen af teorien bag keglesnittene kendes ikke med sikkerhed, men man mener, at den kan have noget at gøre med problemet med ”Terningens fordobling”, der var et af de klassiske problemer i antikken: at konstruere en terning med dobbelt så stort volumen som en given terning.
Det var først i 1800-tallet, at det endeligt blev bevist, at en sådan konstruktion ikke er mulig, blot med daværende tegneredskaber.
I det femte århundrede f.v.t. reducerede Hippokrates problemet med at fordoble en terning med ... Køb adgang for at læse mere Allerede medlem? Log ind
