Matematik A STX - 6. december 2023

Her er vores besvarelse af opgaverne fra den skriftlige eksamen i Matematik A på STX d. 6. december 2023.

Besvarelsen indeholder opgavernes facit og vores løsninger. Løsningerne til opgaverne i delprøve 1 er lavet i to versioner:

den ene version er lavet, så den ligner en eksamensbesvarelse
den anden version indeholder ekstra forklaringer og henvisninger til de formler i formelsamlingen, som vi har brugt.

Løsningerne til opgaverne i delprøve 2 er lavet med CAS-værktøjerne WordMat, Maple™ og TI-Nspire™.

Bemærk: Besvarelsen indeholder ikke selve opgaverne.

Delprøve 1

Den første delprøve består af følgende opgaver:

1a) Bestem f(1,-3).

1b) Bestem f_x'(x,y).

2a) Bestem den højeste og den laveste temperatur i dette døgn i Lissabon.

3a) Bestem hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet P.

3b) Bestem en forskrift for f.

4a) Reducér udtrykket

$\frac{(a+b)^2 - b^2}{a}.$

5a) Bestem hastighedsvektoren $\vec{v}(t)$ .

5b) Bestem de t-værdier, hvor banekurven har en vandret tangent.

6a) Gør rede for, hvilken af funktionerne der har B som graf. Brug bilaget.

7a) Bestem koordinatsættet til hvert af ellipsens brændpunkter.

7b) Bestem en ligning for tangenten til ellipsen i punktet $P(4,\tfrac{12}{5})$ .

8a) Bestem integralet

$\int x \cdot \cos (x^2 +1) dx.$

Den anden delprøve består af følgende opgaver:

9a) Tegn banekurven for $\vec{s}$ .

9b) Bestem koordinatsættet til hvert af banekurvens skæringspunkter med førsteaksen.

10a) Benyt modellen til at bestemme væksthastigheden af isens tykkelse
til tidspunktet t = 0.

10b) Bestem en forskrift for h(t).

10c) Hvor lang tid går der fra den første måling af isens tykkelse, til den er sikker at skøjte på?

11a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen for g.

11b) Bestem arealet af M.

11c) Bestem omkredsen af M.

12a) Benyt modellen til at bestemme koordinatsættet til brændpunktet F.

13a) Undersøg, om gradienten $\nabla f(1,2)$ og vektoren $\tbinom{7}{-3}$ er ortogonale.

14a) Bestem, hvor stor en andel af bilerne der ifølge modellen kører hurtigere end de tilladte 80 km/t.

14b) Hvor hurtigt kører de 2 % af bilerne, der kører hurtigst?

15a) Bestem de værdier af k, hvor f er en voksende funktion.

Eksamenskode: stx233-MAT-A-06122023