SSO om Taylorpolynomier

SSO om Taylorpolynomier samt indledning til differentialregning. Herunder eksempler og masser af grafer.

I opgaven forklares i detaljer om Taylorpolynomiet af n´te grad til en funktion f, om punktet a også kaldt x_0.

Derudover udledes Taylors formel med restleddet med flere eksempler på brugen af Taylorpolynomier.

I opgaven redegøres kort for differentialregning og tallet e, som bruges i nogle af eksemplerne.

Derudover vises eksempler på, hvor stor betydning restleddets værdi har for den tilnærmede funktion af f.

Lærers kommentar

Rigtig god opgave, censor synes dog der manglede en rød tråd igennem opgaven, dette var lærer dog uenig i.

Indhold

Indledning 3
Starten på Taylorpolynomier: 3
1. Infinitesimalberegning: 3
1.1 Sætning: 3
Bevis: 3
1.1.1 Eksempel: 4
2. Indledning til approksimation: 5
Nultegrads approksimation: 5
2.1 Sætning: 5
Bevis: 5
Førstegrads approksimation: 7
2.2 Sætning: 7
Bevis: 7
Andengrads approksimation: 8
2.3 Sætning: 8
Bevis: 8
3. Taylorpolynomium med Lagranges restled: 9
3.1 Sætning: 9
Bevis: 9
3.1.1 Eksempel: 12
4. Besvarelse af opgave 2): 13
5. Tallet e: 15
1.1.1 Eksempel: 15
5.1.1 Eksempel: 15
6. Besvarelse af opgave 1): 17
Konklusion: 19
Summary: 19
Litteraturliste: 19

Uddrag

Starten på Taylorpolynomier:
Sir. Brook Taylor (1685-1731) kom fra en familie på kanten af adlen. Han var en yderst talentfuld maler og musiker og udnyttede disse talenter i matematikkens verden. Taylor fik en del hjemmeundervisning af private tutorer, og i 1703 blev han optaget på St Johns College, hvor han fandt en stor interesse i matematikkens verden. Mellem år 1712 og 1724 offentliggjorde Taylor 13 artikler om meget forskellige emner. Artiklerne beskriver eksperimenter i kappilarvirkning, magnetisme og termometre. Derudover, redegjorde Taylor for et eksperiment, der beskrev loven om magnetisk tiltrækning i 1715, samt en forbedret metode til at tilnærme rødderne af en ligning, ved at give en ny metode til beregning af logaritmer. Taylor tilføjede en ny del til matematikken i 1715, som er nævnt i hans bog ”Methodus incrementorum directa et inversa”, nemlig Taylors sætning. Man kan dog føre Taylors sætning tilbage til 1712, hvor han skriver den i et brev til Machin. I dette brev forklarer Taylor nøje, hvor han fik ideen fra. Taylors sætning forblev dog ukendt indtil i 1772, da Lagrange proklamerede det grundlæggende princip om differentialregning. Udtrykket ”Taylorrække” mener man er blevet brugt første gang ved Lhuilier i 1786... Køb adgang for at læse mere Allerede medlem? Log ind