Bevis for projektion af vektor på vektor

Indhold

Projektion af vektor på vektor
Længden af en projektionsvektor

Projektion af vektor på vektor

Når $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er egentlige vektorer, så er $\vec{b_a}$ projektionen af $\vec{b}$ på $\vec{a}$ . Projektionen er givet ved

$\vec{b_a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a}$

Læs mere om projektion af en vektor på en vektor og se eksempler, hvor vi beregner projektioner af vektorer på vektorer, på siden Projektion af vektor på vektor.

Bevis

Vi lader $\vec{a}$ og $\vec{b}$ være to egentlige vektorer. Vektoren $\vec{b_a}$ er projektionen af $\vec{b}$ på $\vec{a}$ .

Vektoren, der begynder i $\vec{b_a}$ 's endepunkt og ender i $\vec{b}$ 's endepunkt, kalder vi for $\vec{c}$ .

Vi ved tre ting om vektorerne $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{b_a}$ og $\vec{c}$ :

Ifølge indskudssætningen er

$\vec{b_a} + \vec{c} = \vec{b}$

$\vec{a}$ og $\vec{c}$ er ortogonale, dvs. at

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

$\vec{b_a}$ og $\vec{a}$ er parallelle, så der findes en konstant k, så

$\vec{b_a} = k \cdot \vec{a}$

Vi beviser sætningen ved at gøre brug af de tre ovenstående punkter. Først isolerer vi $\vec{c}$ i den første ligning:

$\begin{align*} & \ \ \vec{b_a} + \vec{c} = \vec{b} \\ \Downarrow \ \ & \\ & \ \ \vec{c} = \vec{b} - \vec{b_a} \end{align*}$

Vi indsætter nu $\vec{c} = \vec{b} - \vec{b_a}$ i ligningen $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ :

$\begin{align*} & \ \ \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \\ \Downarrow \ \ & \\ & \ \ \vec{a} \cdot ( \vec{b}-\vec{b_a}) = 0 \end{align*}$

Derefter indsætter vi $\vec{b_a} = k \cdot \vec{a}$ i ovenstående ligning:

$\begin{align*} & \vec{a} \cdot ( \vec{b}-\vec{b_a}) = 0\\[0.5em] \Downarrow \ \ & \\[0.5em] &\vec{a} \cdot ( \vec{b}-k \cdot \vec{a}) = 0 \end{align*}$

Vi benytter nu re...