Andengradsligninger

Indhold

Andengradsligninger har altid komplekse løsninger
- Eksempel: Løs ligningen z² + (4 + 2i)z + 11 - 2i = 0
Andengradsligninger med reelle koefficienter
- Eksempel: Løs ligningen z² + 4z + 5 = 0
- Eksempel: Løs ligningen -2z² + 4z - 4 = 0

Andengradsligninger har altid komplekse løsninger

Sætning. Løsninger til andengradsligninger.

Andengradsligningen az2 + bz + c = 0, hvor a ≠ 0, har løsningerne

$\begin{align*} z_{1} &= \frac{-b - \sqrt{d}}{2a} \\[1em] z_{2} &= \frac{-b + \sqrt{d}}{2a} \end{align}$

Diskriminanten er d = b2 - 4ac.

Sætningen bevises på siden Beviser for kvadratrødder og løsninger til ligninger.

Inden for de reelle tal har en andengradsligning ax2 + bx + c = 0 enten 0, 1 eller 2 løsninger afhængig af værdien af diskriminanten d. Eventuelle løsninger er givet ved

$\begin{align*} x_{1} &= \frac{-b - \sqrt{d}}{2a} \\[1em] x_{2} &= \frac{-b + \sqrt{d}}{2a} \end{align}$

Hvis d < 0, så har ligningen ingen reelle løsninger, fordi vi ikke kan bestemme $\sqrt{d}$ inden for de reelle tal, når d < 0.

Når vi arbejder med komplekse tal, så kan vi altid bestemme $\sqrt{d}$ , dvs. at enhver andengradsligning har løsninger, når vi arbejder med komplekse tal.

Eksempel: Løs ligningen z² + (4 + 2i)z + 11 - 2i = 0

Vi vil løse andengradsligningen z2 + (4 + 2i)z + 11 - 2i = 0.

Først aflæser vi koefficienterne i ligningen:

$\begin{align*} a &= 1 \\[1em] b &= 4 + 2i \\[1em] c &= 11-2i \end{align}$

Vi bestemmer diskriminanten d:

...

	=	$(4+2i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (11 - 2i)$
	=	$4^2 + (2i)^2 + 2 \cdot 4 \cdot 2i - 4 \cdot (11 - 2i)$
	=	$4^2 + 2^2 \cdot i^2 + 2 \cdot 4 \cdot 2i - 4 \cdot (11 - 2i)$
	=	$16 + 4 \cdot (-1) + 16i - 44 + 8i$
	=