[43]

Bevis for Integralregningens hovedsætning

Sætning. Integralregningens hovedsætning.

Hvis funktionen f er kontinuert og ikke-negativ på intervallet [a;b], så er arealfunktionen A med udgangspunkt i a en stamfunktion til f.

Bevis

Vi nøjes med at bevise sætningen for voksende funktioner. Vi lader derfor f være en funktion, der er kontinuert, ikke-negativ og voksende på intervallet [a;b].

En funktion F er en stamfunktion til f, hvis

F '(x) = f(x)

Når vi skal vise, at arealfunktionen A er en stamfunktion til f, så skal vi altså vise, at A er differentiabel i ethvert x0 ∈ [a;b] med differentialkvotienten f(x0).

Vi nøjes med at vise, at A er differentiabel fra højre i x0 ∈ [a;b[ med differentialkvotienten f(x0), dvs. at

$\frac{A(x_0+ \Delta x) - A(x_0)}{\Delta x} \rightarrow f(x_0) \quad \text{for} \quad \Delta x \rightarrow 0^+$

Vi lader derfor Δx > 0.

A(x0) er arealet af området mellem grafen for f og førsteaksen i intervallet [a;x0]:

Dermed er A(x0 + Δx) arealet af området mellem grafen for f og førsteaksen i intervallet [a;x0 + Δx].

A(x0 + Δx) - A(x0) er arealet af området mellem grafen for f og førsteaksen i intervallet [x0;x0 + Δx]. Området er markeret på figuren herunder:

Vi laver en vurdering af, hvor stort det grå område på figuren herover er, ved at se på to rektangler, hvis ...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind