Areal af område under graf
Arealet af et område under grafen for en funktion
Integralregning kan bl.a. benyttes til at bestemme arealet af et område, der er afgrænset af grafen for en funktion og førsteaksen.
Her gennemgår vi, hvordan vi kan bestemme arealet af et område afgrænset af grafen for en funktion f, når funktionen er ikke-negativ, dvs. at grafen for f ikke er under førsteaksen.
Sætning. Areal af område under graf.
Hvis funktionen f er kontinuert og ikke-negativ i intervallet [a;b], så afgrænser grafen for f, førsteaksen og linjerne givet ved x = a og x = b et område M. Arealet af M er givet ved
En funktion f er ikke-negativ i intervallet [a;b], hvis
f(x) ≥ 0 for alle x ∈ [a;b]
Vi beviser sætningen på siden Beviser med arealfunktioner.
I de følgende eksempler benytter vi ovenstående sætning til at bestemme arealet af et område afgrænset af førsteaksen og grafen for en funktion.
Eksempel: Bestem areal af område afgrænset af grafen for f
En funktion f er givet ved
f(x) = 2x
Grafen for f ses herunder:
Vi vil bestemme arealet af området afgrænset af førsteaksen, grafen for f og linjerne givet ved x = 2 og x = 5:
= 
= ![\left [ x^2 \right ]_2^5](/media/webbooks/preview/2170/30257/images/equations/tgvlqffclm9rphyyfhjz3w==.svg)
= 
= 
= 
Området mellem førsteaksen og grafen for f i intervallet [2;5] har et areal på 21.
Eksempel: Bestem areal af område afgrænset af grafen for g
En funktion g er givet ved
g(x) = -x3 + 2x2
Grafen for g afgrænser sammen med førsteaksen et område M i første kvadrant. Vi vil bestem...
