Afstand fra punkt til plan eller linje eller mellem to punkter

Indhold

Afstand fra punkt til plan
- Eksempel: Bestem afstand fra punkt til plan
- Eksempel: Bestem afstand fra O til plan
Afstand fra punkt til linje i rummet
- Eksempel: Bestem afstand fra punkt til linje
Afstand mellem to punkter i rummet
- Eksempel: Bestem afstand mellem to punkter
Vejledninger til opgaver om afstand fra punkt til plan eller mellem punkter

Afstand fra punkt til plan

Når vi taler om afstanden fra et punkt til en plan, så mener vi den korteste afstand fra punktet til planen. Den korteste afstand er den vinkelrette afstand.

Vi kan bestemme afstanden fra et punkt til en plan, når vi kender en ligning for planen.

Sætning. Afstand fra punkt til plan.

Afstanden fra punktet P(x1,y1,z1) til planen α givet ved ligningen

a · x + b · y + c · z + d = 0

$dist(P,\alpha) = \frac{\left | a \cdot x_{1} + b \cdot y_{1} + c \cdot z_{1} + d \right |}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Hvis punktet P ligger i planen α, så er afstanden fra P til α 0. Det omvendte gælder også: Hvis afstanden fra punktet P til planen α er 0, så ligger P i α.

Eksempel: Bestem afstand fra punkt til plan

Planen α er givet ved ligningen

2x - 3y + z + 2 = 0

Vi vil bestemme afstanden fra punktet P(5,-1,-1) til planen α. Vi benytter formlen for afstanden fra et punkt til en plan:

$\begin{align*} dist(P,\alpha) &= \frac{\left | 2 \cdot 5 + (-3) \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) + 2 \right |}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} \\[1em] &= \frac{\left | 10 + 3 - 1 + 2 \right |}{\sqrt{4 + 9 + 1}} \\[1em] &= \frac{\left | 14 \right |}{\sqrt{14}} \\[1em] &= \frac{14}{\sqrt{14}} \\[1em] &\approx 3,741657 \end{align}$

Afstan...