Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Indhold

Hvad er et symmetrisk sandsynlighedsfelt?
- Eksempel: Et almindeligt spil kort
Sandsynligheden for en hændelse i et symmetrisk sandsynlighedsfelt
- Eksempel: Sandsynligheden for at trække en spar
Tælletræ
- Eksempel: Fire bolde i en pose
- Eksempel: Plat eller krone
Kombinatorik
- Eksempel: Gafler uden flyverust
- Eksempel: Ét es blandt tre kort (A- og B-niveau)

Hvad er et symmetrisk sandsynlighedsfelt?

Definition. Symmetrisk sandsynlighedsfelt.

Et sandsynlighedsfelt er symmetrisk, hvis sandsynlighederne for alle udfaldene i udfaldsrummet er ens.

Hvis et sandsynlighedsfelt er symmetrisk, og U = {u1, u2, ..., un}, så er

p1 = p2 = ... = pn

Summen af alle sandsynlighederne er 1. Dermed får vi:

Da alle sandsynlighederne er ens, så er

$p_1 = p_2 = \dots = p_n = \frac{1}{n}$

Eksempel: Et almindeligt spil kort

Et almindeligt spil kort uden jokere består af 52 kort. Sandsynligheden for at trække et givent kort er den samme for alle kortene (1/52), så der er tale om et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

Sandsynligheden for en hændelse i et symmetrisk sandsynlighedsfelt

Når et sandsynlighedsfelt er symmetrisk, så kan vi bestemme sandsynligheden for en hændelse A ud fra antallet af gunstige og mulige udfald:

$P(A) = \frac{\text{antal gunstige udfald}}{\text{antal mulige udfald}}$

De mulige udfald er alle udfaldene i udfaldsrummet U, dvs. at hvis U består af n udfald, så er der n mulige udfald.

De gunstige udfald er de udfald, som hændelsen A består af, dvs. at hvis A består af k udfald,...

	$p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$
⇓
	$n \cdot p_1 = 1$
⇓
	$p_1 = \frac{1}{n}$