Vektorer i 3d

Vektorer i rummet

Vektorer i 3 dimensioner kaldes også vektorer i rummet. På figuren herunder kan du se 3 vektorer i rummet.

Vektorer i rummet kan beskrives med koordinater ligesom vektorer i planen. Vektorer i 3 dimensioner har tre koordinater:

\vec{a} = \left ( \begin{matrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{matrix} \right )

Regneregler og formler

En lang række af de regneregler og formler, der gælder for vektorer i planen, kan udvides, så de også gælder for vektorer i rummet. Her får du en oversigt over nogle af de vigtigste regneregler og formler for vektorer i 3 dimensioner.

Regneregler for vektorer

Regnereglerne for vektorer i planen gælder også for vektorer i rummet, dvs. at hvis \vec{a}\vec{b} og \vec{c} er tre vektorer i rummet, og k1 og k2 er reelle tal, så er

\begin{align*} &1) \ \ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \\[1em] &2) \ \ k_1 \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot k_1 \\[1em] &3) \ \ \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\\[1em] &4) \ \ (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}\\[1em] &5) \ \ 0 \cdot \vec{a} = \vec{0}\\[1em] &6) \ \ (k_1 + k_2) \cdot \vec{a} = k_1 \cdot \vec{a} + k_2 \cdot \vec{a}\\[1em] &7) \ \ k_1 \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = k_1 \cdot \vec{a} + k_1 \cdot \vec{b}\\[1em] &8) \ \ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\\[1em] &9) \ \ (k_1 \cdot k_2) \cdot \vec{a} = k_1 \cdot (k_2 \cdot \vec{a})\\[1em] \end{align*}

Regneregler for vektorkoordinater

Regnereglerne for vektorkoordinater i planen kan udvides til at gælde for vektorer i rummet.

To vektorer \vec{a} og \vec{b} er givet ved

\begin{align*} &\vec{a} = \left ( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix} \right ) \\[0.5em] &\vec{b} = \left ( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix} \right ) \end{align*}

Hvis k er en reel konstant, så er

\begin{align*} &1) \ \ \ \vec{a} + \vec{b} = \left ( \begin{matrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{matrix} \right ) + \left ( \begin{matrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3 \end{matrix} \right )\\[1em] &2) \ \ \ \vec{a} - \vec{b} = \left ( \begin{matrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{matrix} \right ) - \left ( \begin{matrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ a_3-b_3 \end{matrix} \right )\\[1em] &3) \ \ \ k \cdot \vec{a} = k \cdot \left ( \begin{matrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} k \cdot a_1\\ k \cdot a_2\\ k \cdot a_3 \end{matrix} \right )\\ \end{align*}

Vektor mellem punkter

Vi bestemmer koordinaterne til vektoren \overrightarrow{AB} mellem punkterne A(a1,a2,a3) og B(b1,b2,b3) på samme måde som for en vektor i planen, dvs. ved at t...

Teksten herover er kun et uddrag. Køb medlemskab for at læse den fulde tekst.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind