Cosinus, sinus og tangens

Cosinus og sinus til vinkel A

Vi betragter en retvinklet trekant med hypotenusen 1, der er indlagt i enhedscirklen. Ifølge definitionen af cosinus og sinus, så er cos(v) længden af den hosliggende katete til vinklen v, mens sin(v) er længden af den modstående katete til v.

Vi lader ABC være en retvinklet trekant. Vi indlægger trekant ABC i et koordinatsystem, så toppunktet i vinkel A ligger i (0,0) og det ene vinkelben ligger på førsteaksen. Desuden tegner vi en enhedscirkel.

Da trekant ABC og trekant ADE begge er retvinklede og deler vinkel A, så er trekanterne ensvinklede.

Længden af siderne i trekant ABC er a, b og c.

Punkt D ligger på enhedscirklen, dvs. at længden af kateterne i trekant ADE er cos(A) og sin(A), mens længden af hypotenusen er 1.

Da forholdet mellem ensliggende sider i to ensvinklede trekanter er konstant, så er

\frac{\cos(A)}{b} = \frac{\sin(A)}{a} = \frac{1}{c}

Der gælder altså, at

\begin{align*} && \frac{\cos(A)}{b} &= \frac{1}{c} \\ \Downarrow &&& \\ && \cos(A) &= \frac{b}{c} \end{align}

Samt at

\begin{align*} && \frac{\sin(A)}{a} &= \frac{1}{c} \\ \Downarrow &&& \\ && \sin(A) &= \frac{a}{c} \end{align}

Vi har nu to udtryk for vinkel A:

\begin{align*} \cos(A) &= \frac{b}{c} \\[1em] \sin(A) &= \frac{a}{c} \end{align}

Tangens til vinkel A

Tangens til en vinkel v er defineret ud fra cosinus og sinus:

\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}, \quad \cos(v) \neq 0

Vi benytter formlerne for cos(A) og sin...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind