Cosinus, sinus og tangens

Cosinus og sinus til vinkel A

Figuren herover viser en retvinklet trekant, ABC. Vi vil benytte længderne af trekantens sider til at bestemme cosinus og sinus til vinkel A.

Vi indlægger trekanten i et koordinatsystem med en enhedscirkel, så vinkel A er i O(0,0) og det ene vinkelben ligger på førsteaksen.

Derefter tegner vi en retvinklet trekant, ADE, der er ensvinklet med trekant ABC, og hvor hypotenusen har længden 1. Punktet D ligger altså på enhedscirklen.

Ifølge definitionen af cosinus og sinus, så er cos(A) længden af den hosliggende katete til vinkel A i trekant ADE, mens sin(A) er længden af den modstående katete til vinkel A i trekant ADE. Kateterne i trekant ADE har altså længderne cos(A) og sin(A), mens længden af hypotenusen er 1.

Da forholdet mellem ensliggende sider i to ensvinklede trekanter er konstant, så er

\frac{\cos(A)}{b} = \frac{\sin(A)}{a} = \frac{1}{c}

Der gælder altså, at

\begin{align*} && \frac{\cos(A)}{b} &= \frac{1}{c} \\ \Downarrow &&& \\ && \cos(A) &= \frac{b}{c} \end{align}

Samt at

\begin{align*} && \frac{\sin(A)}{a} &= \frac{1}{c} \\ \Downarrow &&& \\ && \sin(A) &= \frac{a}{c} \end{align}

Vi har nu to udtryk for cos(A) og sin(A), der kun afhænger af længderne af siderne i trekant ABC:

\begin{align*} \cos(A) &= \frac{b}{c} \\[1em] \sin(A) &= \frac{a}{c} \end{align}

Tangens til vinkel A

Tangens til en vinkel v er defineret ud fra cosinus og sinus:

\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}, \quad \cos(v) \neq 0

Vi b...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind