Bevis for cosinusrelationerne

Cosinusrelationerne

Sætning. Cosinusrelationerne.

I en vilkårlig trekant ABC er

a² = b² + c² - 2 · b · c · cos⁡(A)

b² = + c² - 2 · a · c · cos⁡(B)

c² = a² + b² - 2 · a · b · cos⁡(C)

Bevis

Vi lader trekant ABC være en vilkårlig trekant.

Trekanten er enten spidsvinklet, stumpvinklet eller retvinklet. Vi beviser cosinusrelationerne for hvert af de tre tilfælde.

Trekanten er spidsvinklet

Hvis trekant ABC er spidsvinklet, så falder alle højderne inde i trekanten.

Vi tegner højden h fra C:

Vi lader punkt D være skæringspunktet mellem højden h og siden c.

Da højden h fra vinkel C står vinkelret på siden c, så er trekant ACD og trekant BCD vinkelrette.

Ifølge Pythagoras' sætning er

(c-x)^2 + h^2 = a^2

Vi omskriver ligningen ved at benytte en kvadratsætning:

a^2 = (c-x)^2 + h^2     = c^2 + x^2 -2cx + h^2

For at kunne omskrive ligningen yderligere, så skal vi erstatte x og h med nogle udtryk, hvor hverken x eller h indgår.

Vi benytter, at trekant ACD også er retvinklet, dvs. at

x^2 + h^2 = b^2

Dermed kan vi omskrive ligningen a2 = c2 + x2 - 2cx + h2 yderligere:

a^2 = c^2 + x^2 - 2cx + h^2     = x^2 + h^2 + c^2 - 2xc     = b^2 + c^2 - 2xc

Vi mangler nu kun at udtrykke x ved b o...

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind