Bevis for arealet af en trekant

Indhold

Areal ud fra vinkel og længde af sider
Bevis

Areal ud fra vinkel og længde af sider

Sætning. Areal af en trekant ud fra vinkel og sider.

Arealet T af en vilkårlig trekant kan bestemmes ud fra en vinkel og længden af de to hosliggende sider:

$\begin{align*} T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin (C) \\[1.2em] T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin (B) \\[1.2em] T = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin (A) \\[1.2em] \end{align}$

Du kan læse mere om arealet af en trekant på siden Arealet af en trekant.

Bevis

Vi lader ABC være en vilkårlig trekant.

Sætningen om arealet af en trekant indeholder tre formler. Vi kan bevise de tre formler ved at benytte samme fremgangsmåde, så vi nøjes med at bevise én af sætningerne:

$T = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(A)$

Først beviser vi, at uanset om trekanten er spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet, så er

$h_c = b \cdot \sin(A)$

Trekanten er spidsvinklet

Vi lader ABC være en spidsvinklet trekant.

Vi tegner højden fra C. Højden falder inde i trekanten.

Punkt D er skæringspunktet mellem højden hc og siden c.

I den retvinklede trekant ACD er hc den modstående side til vinkel A, og b er hyp...