[28]

Bevis for faktorisering af et andengradspolynomium

Her finder du vores bevis for sætningen om faktorisering af et andengradspolynomium med én eller to rødder.

Sætning. Faktorisering.

Hvis et andengradspolynomium f(x) = ax² + bx + c har to rødder x₁ og x₂, så er

f(x) = a·(x - x₁)·(x - x₂)

Hvis f har én rod, x₁, så er

f(x) = a·(x - x₁)²

Vores eksempler på faktorisering af andengradspolynomier er samlet på siden Faktorisering.

Bevis

Vi antager først, at f har to rødder, x1 og x2, og viser, at f så kan skrives på formen f(x) = a·(x - x₁)·(x - x₂).

Når f har to rødder, så rødderne givet ved

$\begin{align*} x_1 = \frac{-b-\sqrt{d}}{2a} \\[1em] x_2 = \frac{-b+\sqrt{d}}{2a} \end{align*}$

Vi beviser, at f(x) = a·(x - x1)·(x - x2) ved at omskrive a·(x - x1)·(x - x2) til ax2 + bx + c. I løbet af omskrivningen får vi brug for at kende summen og produktet af de to rødder, så vi starter med at bestemme x1 + x2 og x1x2:

Få forklaringer til udregningerne ved at holde musen over lighedstegnene.

\frac{-b - \sqrt{d}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{d}}{2a}

Teksten herover er et uddrag fra webbogen. Kun medlemmer kan læse hele indholdet.

Få adgang til hele Webbogen.

Som medlem på Studienet.dk får du adgang til alt indhold.

Køb medlemskab nu

Allerede medlem? Log ind

	=	$\frac{-b - \sqrt{d}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{d}}{2a}$

	=	$\frac{-b - \sqrt{d} -b + \sqrt{d}}{2a}$

...